Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

 

Составим характеристическое уравнение:

l2 - 4l + 4 = 0;

 

Корни характеристического уравнения: l1 = l2 = 2;

  Получаем:

Из системы получается зависимость: x1x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.

 

  Собственный вектор можно записать: .

 

 

  Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

,

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

 

  Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

 

, то

 

Характеристическое уравнение:  

  Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

  Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Пример 4. Найти сумму , если: а)  и

Решение. =.

Ответ: .

Найти сумму , если: б)  и .

Решение. =.

Ответ: .

Пример 5. Найти разность , если  и .

Решение. = () – () = .

Ответ: .

Пример 6. Найти , если  и .

Решение. =( ))=

Ответ: .

Пример 7. Найти , если  и .

Решение. =.

Ответ: .

 

Система координат.

Координаты вектора в ортонормированном базисе

Рассмотрим случай трехмерного векторного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем не­которую точку O и возьмем произвольную точку M. Радиус-вектором точки M по отношению к точке O называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор  раскладывается по этому базису. Таким образом, точке M можно сопоставить упорядоченную тройку чисел (x, y, z) – координаты ее радиус-вектора.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники