Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

 

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l2 - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;

  Для корня l1 = 7:

Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

 

  Для корня l2 = 1:

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

 

  Полученные собственные векторы можно записать в виде:

Задачи для самостоятельной работы

Выполнить действия:

1.

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8.

9. .

10. Найти модуль и аргумент числа .

Представить в алгебраической форме число

.

12. Найти произведение чисел ,

.

13. Найти частное чисел  и , где

.

14. Возвести в степень.

15. Извлечь корень.

16. Решить на множестве комплексных чисел уравнение .

17. Выполнить действия .

18. Найти мнимую часть комплексного числа

19. Найти действительную часть комплексного числа .

20. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям

21. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям .

22. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям .

23. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям .

 

Система координат.

Координаты вектора в ортонормированном базисе

Рассмотрим случай трехмерного векторного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем не­которую точку O и возьмем произвольную точку M. Радиус-вектором точки M по отношению к точке O называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор  раскладывается по этому базису. Таким образом, точке M можно сопоставить упорядоченную тройку чисел (x, y, z) – координаты ее радиус-вектора.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники