Угол между прямыми на плоскости

 

Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.  Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6; 2x – 3y + 3 = 0;   Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .  Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.  

Для самостоятельного решения:  

Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0, 3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Составить уравнения его высот.  

Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере.  

Ответ: { xy = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.

3. Элементы векторной алгебры

3.1. Теоретические основы темы и решение типовых задач

3.1.1. Понятие вектора. Прямоугольная декартова система
координат

Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называются векторными.

Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор  (получен приложением вектора  к точке ).

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Векторы, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.

Прямоугольной системой координат на плоскости называется упорядоченная пара двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу (рис. 3.1). Точка О – начало координат. Векторы , – единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу соответственно. Они называются базисными векторами прямоугольной системы координат (или ортами).

Проекции вектора  на координатные оси Ох и Оу, обозначим через   и  (рис. 3.1). Эти проекции вектора  называются его координатами.

Координаты вектора  находятся по формулам:

, (3.1)

где точки А и В имеют координаты соответственно () и (). Тот факт, что вектор   имеет координаты  может быть записан так:

. (3.2)

Иначе, вектор представлен в разложении по базису ,.

Расстояние между точками плоскости А и В, имеющими координаты соответственно () и (), определяются по формуле

. (3.3)

По этой же формуле определяется длина отрезка  или модуль вектора .

Координаты () средины отрезка  определяются по формулам:

. (3.4)

Если вектор имеет координаты , т. е. задана прямоугольная система координат в пространстве, его можно записать так:

, (3.5)

т. е  вектор представлен в разложении по базису . Векторы  – единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу, Оz соответственно.

Координаты вектора  находятся по формулам:

, (3.6)

где точки А и В, имеют координаты соответственно () и (). Расстояние между точками А и В, имеющими координаты соответственно () и (), определяются по формуле

. (3.7)

По этой же формуле определяется длина отрезка  или модуль вектора .

Координаты () средины отрезка  определяются по формулам:

 ; . (3.8)

В общем случае, модуль вектора , заданного своими декартовыми координатами, находится по формуле

. (3.9)

Единичный вектор , сонаправленный с вектором , находится по формуле

. (3.10)

Для операций сложения, вычитания и умножения вектора на число справедливы следующие соотношения:

; (3.11)

; (3.12)

, (3.13)

где =; =; =.

Проекции вектора

Пусть в пространстве задана некоторая ось l, то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка O и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение 14.  Проекцией точки A на ось l называется число, соответствующее основанию перпендикуляра AB, опущенного на ось l из точки A.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники