Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Уравнение плоскости в отрезках

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.   Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2).

Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.  

Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.  Находим координаты вектора нормали = (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р: 16 + 9 + 144 + D = 0 D = -169

 Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Арифметические корни и их свойства

Корнем -й степени (или арифметическим корнем -й степени) из положительного числа  называется единственное положительное решение уравнения .

При любом  и натуральном  справедливы равенства:

 (1.9)

В частности, .

Если  – целое,  – натуральное (т. е. ), то для любого   справедливо .

Для любых натуральных ,  и любых  справедливы: ;  и  (при);

; . (1.10)

Наконец, если  то .

Следующая формула называется формулой сложного радикала:

, (1.11)

где  и , а знаки в правой и левой части одновременно берутся верхние, либо нижние (соответственно).

Проекции вектора

Пусть в пространстве задана некоторая ось l, то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка O и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение 14.  Проекцией точки A на ось l называется число, соответствующее основанию перпендикуляра AB, опущенного на ось l из точки A.

Справочник