Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Линейные операции над векторами в координатах

Найти (5 + 3)(2 - ), если 10×- 5×+ 6×- 3× = 10,  т.к. .    

 

Найти угол между векторами и , если . Т.е.  = (1, 2, 3), = (6, 4, -2) ×= 6 + 8 – 6 = 8: . cosj =  

 

Найти скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если 15×- 18×- 10×+ 12× = 15 + 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример 2. Векторы  и  служат сторонами треугольника. Найти длину медианы

Решение. =(), ==(1; –1; 4).

.

Ответ: .

Пример 3. При каком значении  векторы  и  перпендикулярны?

Решение. Воспользуемся формулой (3.17)

=.

Ответ: .

Пример 4. При каком значении  векторы  и  коллинеарны?

Решение. Воспользуясь соотношением (3.18), получим . Отсюда: , ,. Решая эту систему получим , . Или из пропорциональности координат

 .

Ответ: при .

Пример 5. Даны вершины треугольника , , . Найти .

Решение. Находим координаты векторов ; имеем , . Угол  равен углу между векторами   и , обозначим его через , тогда

=.

Ответ: .

Пример 6. Векторы  и образуют угол равный . Зная, что ,  вычислить ()().

Решение. Найдем скалярное произведение

()()=+=

=.

Ответ: ()().

Пример 7. Даны векторы  и , такие, что , , . Найти .

Решение. Воспользуемся соотношением (3.15) для нахождения
модуля вектора через скалярное произведение. Находим =. Аналогично, находим

=

=.

Получаем  =; . Складываем эти два соотношения: . Переходим к числам , отсюда , или . Второе значение корня не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: .

Пример 8. Найти координаты точки , лежащей на оси Ох и одинаково удаленной от точек А(1; 2; 3) и В(2; 2; 4).

Решение. Так как точка  лежит на оси Ох, то ее вторая и третья координаты равны нулю, т. е. координаты точки  есть . По формуле (2.6) расстояния между двумя точками имеем

.

.

Поскольку , то  .

Обе части полученного уравнения определены при всех значениях и неотрицательны. Следовательно, это уравнение равносильно уравнению , его единственный корень .

Ответ: координаты точки (; 0; 0 ).

Пример 9. В параллелограмме  известны координаты вершины , векторы и . Найти сумму координат вершины А.

Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 3.3).

Пусть искомые координаты точки А
будут , тогда вектор
 . Кроме того, , тогда . Переходя к координатам, будем иметь

;

;

.

Суммируя полученные координаты, получаем

Ответ:

Пример 6. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из трех человек?

Решение. Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, отличающиеся только составом, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно:

C =

Ответ: C =35.

Справочник