Линейная зависимость векторов

Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы ,  и образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.   Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:  линейно независимы. Тогда . Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.  Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера. D1 = ; D2 = D3 = Итого, координаты вектора в базисе , ,  { -1/4, 7/4, 5/2}.  

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .  Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты этой точки определяются как:  В частном случае координаты середины отрезка находятся как: x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Пример 8. Записать комплексное число  в тригонометрической форме.

Решение. Чтобы записать комплексное число в тригонометрической форме нужно знать его модуль и аргумент, по формуле (2.5) находим

Затем подсчитываем главное значение аргумента . Вещественная и мнимая части данного комплексного числа положительны (). По формуле (2.9) главное значение аргумента совпадает с

Тогда .

Ответ: .

Пример 9. Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение. Данное число является вещественным и отрицательным, а главное значение его аргумента (см. формулу (2.9)) равно . Подсчитаем модуль числа

Модуль и аргумент числа –5 найдены, по формулам (2.7) – (2.9) имеем .

Ответ: .

Пример 10. Найти аргумент числа  

Решение. Вещественные и мнимые части данного числа отрицательны и по формуле (2.9) главное значение аргумента его совпадает с

.

Следовательно, .

Пример 6. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из трех человек?

Решение. Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, отличающиеся только составом, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно:

C =

Ответ: C =35.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники