Первообразная и производная

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Частные производные

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$ :

Пусть $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$

Равенство смешанных частных производных

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Вычислим частные производные функции двух переменных $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$

Частные производные высших порядков

 

Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Рациональные функции и их интегрирование

Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

Разложим рациональную дробь $\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}$

Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .

Определение первообразной и её свойства

Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ .

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$ на всей числовой оси $ \mathbb{R}$  -- на интервале $ (-\infty;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\frac{x^3}{3}$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .

 Особый класс математических теорем образуют теоремы существования. Их структура - $хÎХ А(х) (на множестве Х существует элемент х, для которого верно утверждение А(х)). Пример: если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует (хотя бы один) корень уравнения f(x)=0 (приведённая на иллюстрации функция имеет три корня). В некоторых случаях принципиальна единственность такого элемента х. Так, при численном решении уравнения f(x)=0 многие итерационные процессы перестают работать, если на [a,b] имеется более одного корня уравнения. Существование единственного корня обеспечит такая формулировка теоремы: "если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) монотонна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует единственный корень уравнения f(x)=0".

Структура теорем существования и единственности: $ÎХ А(х).

2.3.3. Доказательство от противного; метод математической индукции.

 Здесь мы рассмотрит два часто применяющихся метода доказательства теорем: доказательство от противного и метод математической индукции.

 2.3.3.1. Доказательство от противного основано на доказанной нами эквивалентности (АÞВ)Û( ùВÞùА) (эквивалентны теоремы прямая и противоположная обратной). Пример - известное доказательство того факта, что  не может быть рациональным числом (предположим, что =p/q, где p/q - несократимая дробьÞp2=2 q2Þ p - чётно, p=2тÞ 4m2=2 q2Þ

Þq2=2m2Þ q - чётно - противоречие с предположением о несократимости дроби). Таким образом, для доказательства "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) мы предполагаем, что истинно утверждение ùВ, доказываем "хÎХ (ùВ(х)ÞùА(х)), и противоречие между А(х) и ùА(х) приводит к выводу ù ùВ = В.

 2.3.3.2. Метод математической индукции часто применяется, если Х=N (или Х - бесконечное подмножество множества N). Доказательство утверждения "nÎN (А(n)ÞВ(n)) проводится в два этапа: 1. Доказывается утверждение А(1); 2. Доказывается "n³1 А(n)ÞА(n+1). Рассмотрим простой пример: доказать, что для любого натурального числа n сумма квадратов целых чисел от 1 до n равна n(n+1)(2n+1)/6:

.

При n =1 равенство справедливо:  .

Пусть равенство справедливо для n, докажем что оно справедливо для n+1: Формула доказана.

2.3.4. Бином Ньютона.

  Набор элементов , (всего m элементов), выбранных без повторения из множества  {a1, a2, a3, …, an}, содержащего n элементов, где  называется выборкой объема m из n элементов. Пусть, например, даны выборки {a1, a4}, {a2, a3, a4}, {a3, a2, a4}; все приведенные выборки разные: первые две отличаются количеством элементов, последние две выборки отличаются порядком элементов.

 Выборки , в которых учитывается не только набор элементов, но и их порядок, называются размещениями. Число различных возможных размещений из n элементов множества по m (m - объем выборки) обозначается символом . Имеет место формула

¬ 

Доказательство: если все множество содержит n элементов, то имеется ровно n вариантов выбора одного элемента; при любом выборе первого элемента вариантов выбора второго элемента будет n-1; следовательно, вариантов выбора двух элементов будет n(n-1); вариантов выбора третьего элемента из оставшихся n-2 элементов будет тоже n-2; следовательно, три элемента можно выбрать n(n -1)( n -2) способами; таким образом, для любого  числа , получаем

где ; при этом по определению полагается  1!=1, 0!=1.

 Выборки, для которых m = n, называются перестановками. Например, {a1, a2, a3}, {a2, a3, a1}, {a3, a1, a2} и т.д. Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn, так как 

Pn =   = n(n - 1)(n - 2) ... (n – n + 1), то Pn = n!

 Если учитывается только набор элементов в выборке (независимо от их порядка), то такие выборки называются сочетаниями. Пусть, например, имеются выборки {a1, a2, a3}, {a2, a3, a1},

{a3, a6, a2}; первые две из них получаются друг из друга перестановкой элементов, поэтому как сочетания они не различаются (но различаются как перестановки); две последние выборки содержат разные наборы элементов, поэтому как сочетания они разные. Число сочетаний из n элементов по m обозначим . Если набор содержит n элементов, то из этих элементов можно сделать  размещений, при этом каждому размещению соответствует еще Pm - 1 размещение, отличающееся от него только порядком элементов, т.е. тождественные с ним как сочетания. Поэтому , то есть .

Частные случаи: если m = 0, то ; если m = 1, то ; если

m = 2, то  ; …; если m = n - 1, то ; если

m = n, то .

 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники