Вычисление неопределенного интеграла

Вычисление неопределенного интеграла

$\displaystyle \int\frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}},$$\displaystyle \int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx.$$\displaystyle \int\frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}dx.$
$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$$\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$
$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$$ \int e^{x^2}x\,dx$$\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx.$

Вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

 

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$

Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$

Интеграл с переменным верхним пределом

Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$ найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл:

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Матрица Гессе

Рассмотрим функцию $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2e^{x_1+x_2}+x^2_2e^{x_1-x_2}.$

 Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .

Ограничения функции на данное множество

Пусть функция $ f(x)=x_1^3+x^3_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ с переменными $ (x_1;x_2)$ .

Функция $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ .

Открытые и замкнутые области

Связные множества
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}.$ Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}.$

Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$

Сформулируем эти утверждения для теоремы Пифагора:

обратная теорема: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) | Р1Р2|2+| Р2Р3|2=| Р1Р3|2 Þ ÐР1Р2Р3=p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение;

противоположная теорема: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) ÐР1Р2Р3¹p/2 Þ | Р1Р2|2+| Р2Р3|2¹| Р1Р3|2} (если какой-либо угол треугольника не прямой ,то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов));

теорема, противоположная обратной: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) | Р1Р2|2+| Р2Р3|2¹| Р1Р3|2 Þ ÐР1Р2Р3¹p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.

Однако если верна прямая теорема, это не означает, что всегда будут верны все остальные. Рассмотрим утверждение: "если десятичная запись натурального числа заканчивается нулем, то это число делится на пять без остатка" . Обратная теорема ("если натуральное число делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа заканчивается нулем")  - ложна (число х=15 делится нацело на 5, но не оканчивается нулём). Противоположное утверждение "если десятичная запись натурального числа не заканчивается нулем, то это число не делится на пять без остатка" () тоже ложно (опровергающий пример - х=15). Утверждение, противоположное обратному: "если натуральное число не делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа не может заканчиваться нулем"  - истинно. Докажем общее утверждение

Теор. 2.3.1. Теоремы прямая и противоположная обратной, обратная и противоположная попарно либо обе истинны, либо обе ложны.

Док-во. Составим таблицу истинности для высказываний А, В и требуемых импликаций:

А

В

ùА

ùВ

АÞВ

ùВÞùА

ВÞА

ùАÞùВ

 Эта таблица является, по существу, подмножеством таблицы Свойства логических операций раздела 2.1. Высказывания и действия над ними. Из неё следуют

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

эквивалентности (АÞВ)Û( ùВÞùА); (ВÞА) Û( ùАÞùВ), которые и требовалось доказать.

 

 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники