Вычисление неопределенного интеграла

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Вычисление неопределенного интеграла

$\displaystyle \int\frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}},$$\displaystyle \int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx.$$\displaystyle \int\frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}dx.$
$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$$\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$
$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$$ \int e^{x^2}x\,dx$$\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx.$

Вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

 

Интеграл с переменным верхним пределом

Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$ найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл:

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Матрица Гессе

Рассмотрим функцию $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2e^{x_1+x_2}+x^2_2e^{x_1-x_2}.$

 Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .

Ограничения функции на данное множество

Пусть функция $ f(x)=x_1^3+x^3_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ с переменными $ (x_1;x_2)$ .

Функция $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ .

Открытые и замкнутые области

Связные множества
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}.$ Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}.$

Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$

Сформулируем эти утверждения для теоремы Пифагора:

обратная теорема: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) | Р1Р2|2+| Р2Р3|2=| Р1Р3|2 Þ ÐР1Р2Р3=p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение;

противоположная теорема: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) ÐР1Р2Р3¹p/2 Þ | Р1Р2|2+| Р2Р3|2¹| Р1Р3|2} (если какой-либо угол треугольника не прямой ,то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов));

теорема, противоположная обратной: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) | Р1Р2|2+| Р2Р3|2¹| Р1Р3|2 Þ ÐР1Р2Р3¹p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.

Однако если верна прямая теорема, это не означает, что всегда будут верны все остальные. Рассмотрим утверждение: "если десятичная запись натурального числа заканчивается нулем, то это число делится на пять без остатка" . Обратная теорема ("если натуральное число делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа заканчивается нулем")  - ложна (число х=15 делится нацело на 5, но не оканчивается нулём). Противоположное утверждение "если десятичная запись натурального числа не заканчивается нулем, то это число не делится на пять без остатка" () тоже ложно (опровергающий пример - х=15). Утверждение, противоположное обратному: "если натуральное число не делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа не может заканчиваться нулем"  - истинно. Докажем общее утверждение

Теор. 2.3.1. Теоремы прямая и противоположная обратной, обратная и противоположная попарно либо обе истинны, либо обе ложны.

Док-во. Составим таблицу истинности для высказываний А, В и требуемых импликаций:

А

В

ùА

ùВ

АÞВ

ùВÞùА

ВÞА

ùАÞùВ

 Эта таблица является, по существу, подмножеством таблицы Свойства логических операций раздела 2.1. Высказывания и действия над ними. Из неё следуют

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

эквивалентности (АÞВ)Û( ùВÞùА); (ВÞА) Û( ùАÞùВ), которые и требовалось доказать.

 

 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники