Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле

Формула замены переменного в определённом интеграле

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx.$

Формула интегрирования по частям

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.

Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.

 Итак, высказывание - утверждение, которое или истинно, или ложно (третья возможность исключена); никакое высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.

 Для описания истинности высказываний необходимы два символа - один для истинных высказываний, другой - для ложных. Можно применять буквы "и" и "л"; однако чаще применяются цифры 0 и 1. Именно, ложному высказыванию припишем значение 0, истинному - значение 1. Таким образом, для вышеприведённого примера истинность высказываний A и С равна 1; истинность высказывания B равна 0.

 Определим теперь операции, с помощью которых из высказываний строятся более сложные высказывания.

 Опр.2.1.2. Отрицанием высказывания А (обозначение ùА; читается: "не А") называется высказывание, которое ложно тогда, когда А - истинно, и истинно, когда А ложно.

Для приведённых примеров В=ùА.

 Опр.2.1.3. Конъюнкцией высказываний А и В (обозначение АÙВ, читается: А и В) называется высказывание, истинное тогда, когда истинны оба высказывания А и В, и ложное в остальных случаях.

Опр. 2.1.4. Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначение АÚВ, читается: А или В) называется высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А и В, и ложное, если и А и В ложны.

Опр. 2.1.5. Импликацией высказываний А и В (обозначение АÞВ, читается: из А следует В; если А, то В) называется высказывание, ложное в случае, если А истинно, а В ложно, и истинное в остальных случаях.

Опр. 2.1.6. Эквивалентностью высказываний А и В (обозначение АÛВ, читается: тогда и только тогда, необходимо и достаточно) называется высказывание, истинное тогда, когда оба высказывания А и В либо истинны, либо ложны, и ложное если одно из высказываний А, В истинно, а другое ложно.

 Рассмотрим простой пример интерпретации введённых операций. Пусть даны высказывания: А="5>3" (истинное); В="10>7" (истинное); С="6<1" (ложное); D="8<0" (ложное). Результаты применения логических операций к этим высказываниям будут таковы:

ùА (неверно, что "5>3") - ложно; ùС (неверно, что "6<1") - истинно; АÙВ ("5>3" и "10>7" (одновременно)) - истинно; АÙС ("5>3" и "6<1" (одновременно)) - ложно; АÙС ("5>3" и "6<1" (одновременно)) - ложно; АÚС ("5>3" или "6<1" (истинно хотя бы одно из этих утверждений)) - истинно; АÞВ (из А следует В; если А, то В; если"5>3", то "10>7") - истинно;

Таблица истинности операций

АÞС (из А следует С; если А, то С;

A

B

ùА

АÙВ

АÚВ

АÞВ

АÛВ

если"5>3", то "6<1") - ложно;

СÞА (из С следует А; если С, то А; если"6<1", то "5>3") - истинно;

АÛВ (А эквивалентно В; А справедливо тогда и только тогда, когда справедливо В; для А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось В; "5>3"Û"10>7") - истинно;

АÛС ("5>3"Û"6<1") - ложно; DÛС ("8<0"Û"6<1") - истинно.

 

1

1

0

1

1

1

1

 

1

0

0

0

1

0

0

 

0

1

1

0

1

1

0

 

0

0

1

0

0

1

1

 

Свойства логических операций.

1. (ù ùА) Û (А).

7. ((АÙВ)ÙС) ÛÙÙС)).

2. ( ùÚВ)) Û (ùАÙùВ).

8. ((АÚВ)ÙС) Û ((АÙС)ÚÙС)).

3. ( ùÙВ)) Û (ùАÚùВ).

9. ((АÙВ)ÚС) Û ((АÚС)ÙÚС)).

4. (АÚВ) ÛÚА).

10. (АÞВ) Û ( ù АÚВ).

5. (АÙВ) ÛÙА).

11. (АÞВ) Û ( ù ВÞù А).

6. ((АÚВ)ÚС) ÛÚÚС)).

12. (АÛВ) ÛÞВ)ÙÞА).

Док-во. Для доказательства любой из приведённых формул требуется построить таблицы истинности для частей формулы, стоящих слева и справа от символа эквивалентности Û, для всех значений истинности входящих в формулу высказываний, и показать, что они совпадают. Докажем, например, формулу 8. Таблица истинности:

А

В

С

АÚВ

ÚВ)ÙС

АÙС

ВÙС

ÙС)ÚÙС)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

Значения истинности для левой и правой частей формулы совпадают при любых истинностях входных высказываний, следовательно, левая и правая части формулы действительно эквивалентны. (Отметим аналогию между этой формулой и формулой 10. из раздела "1. Элементы терии множеств").

 В дальнейшем мы будем отождествлять высказывание и его значение истинности, т.е. считать, что А = 1, если А - истинно, и А = 0, если А - ложно.

 

 

 Кванторы - логические операции, с помощью которых по некоторому высказыванию А(х) получают новые высказывания, характеризующие область истинности высказывания А(х).

Опр. 2.2.1. Квантором всеобщности (обозначение - ") высказывания А(х), xÎ X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если высказывание А(х) истинно для любого элемента xÎ X, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда хотя бы для одного xÎ X высказывание А(х) ложно).

Формула "хÎХ, А(х) читается как "для любого х, принадлежащего Х, справедливо А(х)"; "все х из Х удовлетворяют условию А(х)" и т.д. Формальное определение квантора всеобщности:

  Примеры: высказывание ("хÎ[-2,4], x2>-2) - истинно, высказывание ("хÎ[-2,4], x2>16) - ложно, высказывание ("хÎN, x2>0) - истинно, высказывание ("хÎR, x2>0) - ложно.

Опр. 2.2.2. Квантором существования (обозначение -$) высказывания А(х), xÎ X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если высказывание А(х) истинно хотя бы для одного элемента xÎ X, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда высказывание А(х) ложно для всех xÎ X).

Формула $хÎХ, А(х) читается как "существует (найдётся) (хотя бы один) элемент х, принадлежащий Х, для которого справедливо А(х)". Формальное определение квантора существования:

  Примеры: высказывание ($хÎ[-2,4], x2 > 20) - ложно, высказывание ($хÎ[-2,4], x2 > 10) - истинно, высказывание ($хÎN, x2 = 0) - ложно, высказывание ($хÎR, x2 = 0) - истинно.

Опр. 2.2.3. Квантором существования и единственности (обозначение -$!) высказывания А(х), xÎ X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если на множестве X существует элемент x, для которого высказывание А(х) истинно, и такой элемент единственен, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда высказывание А(х) ложно для любого элемента xÎ X либо А(х) истинно более чем для одного элемента xÎ X).

Формула $! хÎХ, А(х) читается как "существует единственный элемент х, принадлежащий Х, для которого справедливо А(х)”. Формальное определение квантора существования и единственности:

  Примеры: высказывание ($! хÎ[-2,4], x2 ³ 16) - истинно, высказывание ($Î[-2,4], x2 > 15) - ложно, высказывание ($ÎN, x2 £ 1) - истинно, высказывание ($ÎR, x2 £ 1) - ложно.

 Применение кванторов позволяет компактно записывать формулировки теорем, определений и других математических утверждений. Например, теорема о существовании корней квадратного уравнения запишется так:

.

  При проведении математических рассуждений (доказательство теорем от противного, формулировки противоположных теорем и т.д.) часто приходится строить отрицания некоторых утверждений. Рассмотрим простой пример. Пусть дано определение: "Группа называется хорошей, если любой (")студент этой группы - хороший", требуется построить логически следующее из этого определения новое - определение плохой группы. Правильный ответ: "Группа называется плохой, если хотя бы один ($)студент этой группы - плохой". Этот пример подсказывает следующие правила взаимодействия кванторов существования и единственности с операцией отрицания:

1. ù("хÎХ, А(х))Û$хÎХ, ùА(х);

2. ù($хÎХ, А(х))Û "хÎХ, ùА(х).

 Док-во. Докажем первую эквивалентность. Если истинно высказывание ù("хÎХ, А(х)) (не для "хÎХ истинно А(х)), то $хÎХ, для которого А(х) ложно, т.е. истинно ùА(х). Импликация ù("хÎХ, А(х))Þ $хÎХ, ùА(х) доказана. Если истинно высказывание $хÎХ, ùА(х) (существует хÎХ, для которого А(х) ложно), то не для любого хÎХ истинно А(х), т.е.ù("хÎХ, А(х)). Импликация $хÎХ,ùА(х) Þ ù("хÎХ, А(х))доказана. По формуле 12 таблицы Свойства логических операций из доказанных импликаций следует эквивалентность левой и правой частей первой формулы. 

Аналогично доказывается вторая формула. Формулы 1 и 2 имеют простой смысл. Именно, если мы хотим опровергнуть утверждение "хÎХ, А(х) (для любого х из Х верно А(х)), достаточно найти хотя бы один х, для которого А(х) неверно: $хÎХ, ùА(х). Если опровергается утверждение $хÎХ, А(х) "существует х, для которого верно А(х)", необходимо доказать, что А(х) неверно для любого х: "хÎХ, ùА(х).

 Задание. Самостоятельно доказать формулу 2.

 Если высказывание А(х) содержит несколько кванторов, то операция отрицания меняет каждый из них. Так, отрицание утверждения "число b есть предел функции f(x) в точке x=a…."

  запишется так:

ù.

 

 Исходя из утверждения "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) можно построить новые утверждения:

 "хÎХ (В(х)ÞА(х)) (обратная теорема);

 "хÎХ (ùА(х)Þ ùВ(х)) (противоположная теорема);

 "хÎХ (ùВ(х)Þ ùА(х)) (теорема, противоположная обратной).

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники