Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Формула замены переменного в определённом интеграле

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx.$

Формула интегрирования по частям

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.

Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.

 Итак, высказывание - утверждение, которое или истинно, или ложно (третья возможность исключена); никакое высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.

 Для описания истинности высказываний необходимы два символа - один для истинных высказываний, другой - для ложных. Можно применять буквы "и" и "л"; однако чаще применяются цифры 0 и 1. Именно, ложному высказыванию припишем значение 0, истинному - значение 1. Таким образом, для вышеприведённого примера истинность высказываний A и С равна 1; истинность высказывания B равна 0.

 Определим теперь операции, с помощью которых из высказываний строятся более сложные высказывания.

 Опр.2.1.2. Отрицанием высказывания А (обозначение ùА; читается: "не А") называется высказывание, которое ложно тогда, когда А - истинно, и истинно, когда А ложно.

Для приведённых примеров В=ùА.

 Опр.2.1.3. Конъюнкцией высказываний А и В (обозначение АÙВ, читается: А и В) называется высказывание, истинное тогда, когда истинны оба высказывания А и В, и ложное в остальных случаях.

Опр. 2.1.4. Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначение АÚВ, читается: А или В) называется высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А и В, и ложное, если и А и В ложны.

Опр. 2.1.5. Импликацией высказываний А и В (обозначение АÞВ, читается: из А следует В; если А, то В) называется высказывание, ложное в случае, если А истинно, а В ложно, и истинное в остальных случаях.

Опр. 2.1.6. Эквивалентностью высказываний А и В (обозначение АÛВ, читается: тогда и только тогда, необходимо и достаточно) называется высказывание, истинное тогда, когда оба высказывания А и В либо истинны, либо ложны, и ложное если одно из высказываний А, В истинно, а другое ложно.

 Рассмотрим простой пример интерпретации введённых операций. Пусть даны высказывания: А="5>3" (истинное); В="10>7" (истинное); С="6<1" (ложное); D="8<0" (ложное). Результаты применения логических операций к этим высказываниям будут таковы:

ùА (неверно, что "5>3") - ложно; ùС (неверно, что "6<1") - истинно; АÙВ ("5>3" и "10>7" (одновременно)) - истинно; АÙС ("5>3" и "6<1" (одновременно)) - ложно; АÙС ("5>3" и "6<1" (одновременно)) - ложно; АÚС ("5>3" или "6<1" (истинно хотя бы одно из этих утверждений)) - истинно; АÞВ (из А следует В; если А, то В; если"5>3", то "10>7") - истинно;

Таблица истинности операций

АÞС (из А следует С; если А, то С;

A

B

ùА

АÙВ

АÚВ

АÞВ

АÛВ

если"5>3", то "6<1") - ложно;

СÞА (из С следует А; если С, то А; если"6<1", то "5>3") - истинно;

АÛВ (А эквивалентно В; А справедливо тогда и только тогда, когда справедливо В; для А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось В; "5>3"Û"10>7") - истинно;

АÛС ("5>3"Û"6<1") - ложно; DÛС ("8<0"Û"6<1") - истинно.

 

1

1

0

1

1

1

1

 

1

0

0

0

1

0

0

 

0

1

1

0

1

1

0

 

0

0

1

0

0

1

1

 

Свойства логических операций.

1. (ù ùА) Û (А).

7. ((АÙВ)ÙС) ÛÙÙС)).

2. ( ùÚВ)) Û (ùАÙùВ).

8. ((АÚВ)ÙС) Û ((АÙС)ÚÙС)).

3. ( ùÙВ)) Û (ùАÚùВ).

9. ((АÙВ)ÚС) Û ((АÚС)ÙÚС)).

4. (АÚВ) ÛÚА).

10. (АÞВ) Û ( ù АÚВ).

5. (АÙВ) ÛÙА).

11. (АÞВ) Û ( ù ВÞù А).

6. ((АÚВ)ÚС) ÛÚÚС)).

12. (АÛВ) ÛÞВ)ÙÞА).

Док-во. Для доказательства любой из приведённых формул требуется построить таблицы истинности для частей формулы, стоящих слева и справа от символа эквивалентности Û, для всех значений истинности входящих в формулу высказываний, и показать, что они совпадают. Докажем, например, формулу 8. Таблица истинности:

А

В

С

АÚВ

ÚВ)ÙС

АÙС

ВÙС

ÙС)ÚÙС)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

Значения истинности для левой и правой частей формулы совпадают при любых истинностях входных высказываний, следовательно, левая и правая части формулы действительно эквивалентны. (Отметим аналогию между этой формулой и формулой 10. из раздела "1. Элементы терии множеств").

 В дальнейшем мы будем отождествлять высказывание и его значение истинности, т.е. считать, что А = 1, если А - истинно, и А = 0, если А - ложно.

 

 

 Кванторы - логические операции, с помощью которых по некоторому высказыванию А(х) получают новые высказывания, характеризующие область истинности высказывания А(х).

Опр. 2.2.1. Квантором всеобщности (обозначение - ") высказывания А(х), xÎ X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если высказывание А(х) истинно для любого элемента xÎ X, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда хотя бы для одного xÎ X высказывание А(х) ложно).

Формула "хÎХ, А(х) читается как "для любого х, принадлежащего Х, справедливо А(х)"; "все х из Х удовлетворяют условию А(х)" и т.д. Формальное определение квантора всеобщности:

  Примеры: высказывание ("хÎ[-2,4], x2>-2) - истинно, высказывание ("хÎ[-2,4], x2>16) - ложно, высказывание ("хÎN, x2>0) - истинно, высказывание ("хÎR, x2>0) - ложно.

Опр. 2.2.2. Квантором существования (обозначение -$) высказывания А(х), xÎ X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если высказывание А(х) истинно хотя бы для одного элемента xÎ X, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда высказывание А(х) ложно для всех xÎ X).

Формула $хÎХ, А(х) читается как "существует (найдётся) (хотя бы один) элемент х, принадлежащий Х, для которого справедливо А(х)". Формальное определение квантора существования:

  Примеры: высказывание ($хÎ[-2,4], x2 > 20) - ложно, высказывание ($хÎ[-2,4], x2 > 10) - истинно, высказывание ($хÎN, x2 = 0) - ложно, высказывание ($хÎR, x2 = 0) - истинно.

Опр. 2.2.3. Квантором существования и единственности (обозначение -$!) высказывания А(х), xÎ X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если на множестве X существует элемент x, для которого высказывание А(х) истинно, и такой элемент единственен, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда высказывание А(х) ложно для любого элемента xÎ X либо А(х) истинно более чем для одного элемента xÎ X).

Формула $! хÎХ, А(х) читается как "существует единственный элемент х, принадлежащий Х, для которого справедливо А(х)”. Формальное определение квантора существования и единственности:

  Примеры: высказывание ($! хÎ[-2,4], x2 ³ 16) - истинно, высказывание ($Î[-2,4], x2 > 15) - ложно, высказывание ($ÎN, x2 £ 1) - истинно, высказывание ($ÎR, x2 £ 1) - ложно.

 Применение кванторов позволяет компактно записывать формулировки теорем, определений и других математических утверждений. Например, теорема о существовании корней квадратного уравнения запишется так:

.

  При проведении математических рассуждений (доказательство теорем от противного, формулировки противоположных теорем и т.д.) часто приходится строить отрицания некоторых утверждений. Рассмотрим простой пример. Пусть дано определение: "Группа называется хорошей, если любой (")студент этой группы - хороший", требуется построить логически следующее из этого определения новое - определение плохой группы. Правильный ответ: "Группа называется плохой, если хотя бы один ($)студент этой группы - плохой". Этот пример подсказывает следующие правила взаимодействия кванторов существования и единственности с операцией отрицания:

1. ù("хÎХ, А(х))Û$хÎХ, ùА(х);

2. ù($хÎХ, А(х))Û "хÎХ, ùА(х).

 Док-во. Докажем первую эквивалентность. Если истинно высказывание ù("хÎХ, А(х)) (не для "хÎХ истинно А(х)), то $хÎХ, для которого А(х) ложно, т.е. истинно ùА(х). Импликация ù("хÎХ, А(х))Þ $хÎХ, ùА(х) доказана. Если истинно высказывание $хÎХ, ùА(х) (существует хÎХ, для которого А(х) ложно), то не для любого хÎХ истинно А(х), т.е.ù("хÎХ, А(х)). Импликация $хÎХ,ùА(х) Þ ù("хÎХ, А(х))доказана. По формуле 12 таблицы Свойства логических операций из доказанных импликаций следует эквивалентность левой и правой частей первой формулы. 

Аналогично доказывается вторая формула. Формулы 1 и 2 имеют простой смысл. Именно, если мы хотим опровергнуть утверждение "хÎХ, А(х) (для любого х из Х верно А(х)), достаточно найти хотя бы один х, для которого А(х) неверно: $хÎХ, ùА(х). Если опровергается утверждение $хÎХ, А(х) "существует х, для которого верно А(х)", необходимо доказать, что А(х) неверно для любого х: "хÎХ, ùА(х).

 Задание. Самостоятельно доказать формулу 2.

 Если высказывание А(х) содержит несколько кванторов, то операция отрицания меняет каждый из них. Так, отрицание утверждения "число b есть предел функции f(x) в точке x=a…."

  запишется так:

ù.

 

 Исходя из утверждения "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) можно построить новые утверждения:

 "хÎХ (В(х)ÞА(х)) (обратная теорема);

 "хÎХ (ùА(х)Þ ùВ(х)) (противоположная теорема);

 "хÎХ (ùВ(х)Þ ùА(х)) (теорема, противоположная обратной).

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники