Несобственные интегралы первого и второго рода

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Свойства несобственных интегралов первого рода

Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$

 

Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ сходится

Рассмотрим теперь несобственный интеграл $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^2-x-5}{x^8+1}dx.$

Несобственные интегралы второго рода

Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$

Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y;z)=xy^2z+3x^2yz^3$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2+2xy$

 3. Множество Q рациональных чисел счётно.

Множество рациональных чисел (чисел вида p/q, где p,q - целые числа, q¹0) можно представить как объединение счётного числа следующих счётных множеств:

множества Q1 всех целых чисел n=0,±1,±2,±3,….;

множество Q2 всех дробей вида n/2, множество Q3 всех дробей вида n/3,…………….,

множество Qк всех дробей вида n/к, n=0,±1,±2,±3,…..; следовательно, оно счётно.

 Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

 4. Если А={an|nÎZ} и В={bn|nÎZ} - счётные множества, то множество всех пар {(an,bк)|n,кÎZ} - счётно.

 5. Множество всех многочленов  (произвольных степеней) с рациональными коэффициентами (aiÎQ) счётно.

  6. Алгебраическим числом называется число, которое может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Доказать, что множество алгебраических чисел счётно.

  7. Множество всех отрезков [a,b] с рациональными концами a, b счётно.

8. Множество взаимно не пересекающихся интервалов (a,b) на оси счётно.

 9. Множество точек разрыва монотонной функции счётно.

 

х(1)=a0(1), a1(1)a2(1)a3(1)…….;

х(2)=a0(2), a1(2)a2(2)a3(2)…….;

х(3)=a0(3), a1(3)a2(3)a3(3)…….;

……………………………...;

х(n)=a0(n), a1(n)a2(n)a3(n)…….;

……………………………….

Построим точку х=b0, b1b2b3…..Î[0,1], заведомо не принадлежащую этой последовательности. Возьмём b0=0. В качестве b1 возьмём любую цифру, неравную a1(1) и 9; в качестве b2 - любую цифру, неравную a2(2) и 9 и т.д.; вообще в качестве bn возьмём любую цифру, неравную an(n) и 9.

Построенная точка не может входить в последовательность х(1), х(2), х(3),…, х(n),…(х¹ х(n),т.к. b(n)¹an(n))- получено противоречие с предположением о счётности точек отрезка.

Если А - бесконечное множество, В - конечное или счётное множество, то -множество, равномощное А.

Выберем в А счётное подмножество С и пусть D=А\С. Тогда А= DС; АВ= DВ). С и В - счётные множества, следовательно, СВ -также счётное множество, т.е. существует взаимно-однозначное соответствие между элементами С и СВ. Применяя это соответствие и тождественное соответствие между элементами множества D, получим взаимно-однозначное соответствие между элементами DС и DВ), что означает равномощность множеств А и АВ.

Следует отметить, что из этого свойства непосредственно следует равномощность множеств точек отрезка и интервала.

Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

Множество иррациональных чисел имеет мощность континуум.

Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. Доказать, что множество трансцендентных чисел имеет мощность континуум.

1.3.3. Множества высших мощностей.

Опр. 1.3.6. Если множества А и В неравномощны, но одно из них, например, А, равномощно с некоторым подмножеством множества В, то множество В называется множеством большей мощности, чем А.

Минимальной мощностью обладает пустое множество. Счётное множество имеет большую мощность, чем любое конечное, континуум - большую мощность, чем счётное. Существуют ли множества большей мощности? Следующая теорема показывает, что для любого множества можно построить более мощное множество.

Теор. 1.3.2. В соответствии х«Ах множеству СÌВ соответствует элемент хСÎА. Каков тип элемента хС? хС не может быть элементом первого типа, так как в этом случае должно быть хСÎС, а С состоит из элементов второго типа. хС не может быть элементом второго типа, так как в этом случае должно быть хСÏС, а С содержит все элементы второго типа. Полученное противоречие показывает, взаимно-однозначного соответствия между элементами А и В существовать не может, т.е. мощность В больше мощности А.

Задачи.

Доказать:

1. А\(ВÈС) = (А\В)\С.

6. D=AÈ(B\C) Þ (AÈB)\CÌD.

2. А=ВÈС Þ А\ВÌС.

7. (A1ÈA2)\(B1ÈB2) Ì (A1\B1)È(A2\B2).

3. А\В=С Þ АÌ( ВÈС).

8. .

4. АÍВ Û АÇВ=А.

9. .

5. АÍВ Û АÈВ=В.

 Привести пример таких множеств, что

1. A ¹ BÈ(A\B).

3. D=AÈ(B\C), но D¹(AÈB)\C.

2. A = BÈC, но A\B¹C.

4. (A1ÈA2)\(B1ÈB2) ¹ (A1\B1)È(A2\B2).

 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники