Несобственные интегралы первого и второго рода

Свойства несобственных интегралов первого рода

Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$

 

Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ сходится

Рассмотрим теперь несобственный интеграл $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^2-x-5}{x^8+1}dx.$

Несобственные интегралы второго рода

Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$

Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y;z)=xy^2z+3x^2yz^3$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2+2xy$

 3. Множество Q рациональных чисел счётно.

Множество рациональных чисел (чисел вида p/q, где p,q - целые числа, q¹0) можно представить как объединение счётного числа следующих счётных множеств:

множества Q1 всех целых чисел n=0,±1,±2,±3,….;

множество Q2 всех дробей вида n/2, множество Q3 всех дробей вида n/3,…………….,

множество Qк всех дробей вида n/к, n=0,±1,±2,±3,…..; следовательно, оно счётно.

 Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

 4. Если А={an|nÎZ} и В={bn|nÎZ} - счётные множества, то множество всех пар {(an,bк)|n,кÎZ} - счётно.

 5. Множество всех многочленов  (произвольных степеней) с рациональными коэффициентами (aiÎQ) счётно.

  6. Алгебраическим числом называется число, которое может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Доказать, что множество алгебраических чисел счётно.

  7. Множество всех отрезков [a,b] с рациональными концами a, b счётно.

8. Множество взаимно не пересекающихся интервалов (a,b) на оси счётно.

 9. Множество точек разрыва монотонной функции счётно.

 

х(1)=a0(1), a1(1)a2(1)a3(1)…….;

х(2)=a0(2), a1(2)a2(2)a3(2)…….;

х(3)=a0(3), a1(3)a2(3)a3(3)…….;

……………………………...;

х(n)=a0(n), a1(n)a2(n)a3(n)…….;

……………………………….

Построим точку х=b0, b1b2b3…..Î[0,1], заведомо не принадлежащую этой последовательности. Возьмём b0=0. В качестве b1 возьмём любую цифру, неравную a1(1) и 9; в качестве b2 - любую цифру, неравную a2(2) и 9 и т.д.; вообще в качестве bn возьмём любую цифру, неравную an(n) и 9.

Построенная точка не может входить в последовательность х(1), х(2), х(3),…, х(n),…(х¹ х(n),т.к. b(n)¹an(n))- получено противоречие с предположением о счётности точек отрезка.

Если А - бесконечное множество, В - конечное или счётное множество, то -множество, равномощное А.

Выберем в А счётное подмножество С и пусть D=А\С. Тогда А= DС; АВ= DВ). С и В - счётные множества, следовательно, СВ -также счётное множество, т.е. существует взаимно-однозначное соответствие между элементами С и СВ. Применяя это соответствие и тождественное соответствие между элементами множества D, получим взаимно-однозначное соответствие между элементами DС и DВ), что означает равномощность множеств А и АВ.

Следует отметить, что из этого свойства непосредственно следует равномощность множеств точек отрезка и интервала.

Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

Множество иррациональных чисел имеет мощность континуум.

Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. Доказать, что множество трансцендентных чисел имеет мощность континуум.

1.3.3. Множества высших мощностей.

Опр. 1.3.6. Если множества А и В неравномощны, но одно из них, например, А, равномощно с некоторым подмножеством множества В, то множество В называется множеством большей мощности, чем А.

Минимальной мощностью обладает пустое множество. Счётное множество имеет большую мощность, чем любое конечное, континуум - большую мощность, чем счётное. Существуют ли множества большей мощности? Следующая теорема показывает, что для любого множества можно построить более мощное множество.

Теор. 1.3.2. В соответствии х«Ах множеству СÌВ соответствует элемент хСÎА. Каков тип элемента хС? хС не может быть элементом первого типа, так как в этом случае должно быть хСÎС, а С состоит из элементов второго типа. хС не может быть элементом второго типа, так как в этом случае должно быть хСÏС, а С содержит все элементы второго типа. Полученное противоречие показывает, взаимно-однозначного соответствия между элементами А и В существовать не может, т.е. мощность В больше мощности А.

Задачи.

Доказать:

1. А\(ВÈС) = (А\В)\С.

6. D=AÈ(B\C) Þ (AÈB)\CÌD.

2. А=ВÈС Þ А\ВÌС.

7. (A1ÈA2)\(B1ÈB2) Ì (A1\B1)È(A2\B2).

3. А\В=С Þ АÌ( ВÈС).

8. .

4. АÍВ Û АÇВ=А.

9. .

5. АÍВ Û АÈВ=В.

 Привести пример таких множеств, что

1. A ¹ BÈ(A\B).

3. D=AÈ(B\C), но D¹(AÈB)\C.

2. A = BÈC, но A\B¹C.

4. (A1ÈA2)\(B1ÈB2) ¹ (A1\B1)È(A2\B2).

 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники