Найдём объём
тела, ограниченного поверхностью вращения линии
вокруг оси
(при
).
Вычислим площадь
поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды
,
при
, вокруг оси
.
Вычислим площадь
поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси
части линии
, расположенной над отрезком
оси
.
Найдём площадь
ограниченной области, лежащей между осью
и линией
.
Найдём площадь
области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда
(
) и отрезком горизонтальной оси
.
Найдём площадь
области, ограниченной частью спирали
(
) при
и отрезком
оси
Вычислим длину
дуги линии
, расположенной между прямыми
и
.
Найдём длину
отрезка параболы
, лежащего между точками
и
.
Найти длину
окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Опр.1.2.3. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее
из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству
В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно
пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися.
Пересечение множеств обозначается символами "
" и "
" (знак умножения):
или С=АВ. Для примера, приведенного после опр.1.2.1,
. Геометрически пересечение
множеств представлено на рис. 3.
Свойства операции пересечения множеств.
Теор. 1.2.2. Справедливы следующие равенства:
(коммутативность);
(А
В)
С=А
(В
С) (ассоциативность);
Если
, то А
В=
В;
А
Ø= Ø.
Задание. Самостоятельно доказать включения соответствующих множеств
и изобразить диаграммы для формул 5-8.
Опр. 1.2.4 пересечения множеств для большего числа множеств: Пересечением
множеств А1, А2, А3, …, Аn (обозначение
) называется множество, состоящее из элементов, входящих
в каждое из множеств А1, А2, А3, …, Аn.
Теор. 1.2.3. Для операций объединения и пересечения множеств справедливы
законы дистрибутивности:
;
.
Док-во: Докажем формулу 9. Пусть
. Тогда либо
(следовательно,
и
, т.е.
); либо
(следовательно, одновременно,
(Þ
) и
(Þ
), т.е.
); либо одновременно
и
(в этом случае можно применить любое из приведённых выше
рассуждений). Таким образом, доказано, что
.
Пусть
. Рассмотрим
два случая. 1. Пусть
.Тогда
. 2. Пусть
, но
, т.е. одновременно и
, и
. Это возможно, только если одновременно и
, и
; т.е.
, откуда следует, что
. Включение
доказано.
Задание. Самостоятельно доказать формулу 10.
Опр. 1.2.5. Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее
те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
В опр. 1.2.5 не предполагается, что
(рис. 4). Если же
, то разность А\В называется дополнением множества В до
множества А (рис. 5). Для дополнения множества А до универсального множества
U применяется обозначение
(рис. 6).
Теор. 1.2.4. Операции разности и дополнения антидистрибутивны относительно
операций объединения и пересечения:
11.
;
.
(Дополнение к объединению некоторых множеств равно пересечению их
дополнений; дополнение к пересечению множеств равно объединению их
дополнений. Другими словами, символ дополнения \ можно менять местами
со знаками
и
, при этом один из этих знаков заменяется другим).
Док-во. Докажем формулу 11. Пусть
. Это означает, что
и
, т.е.
,
. Следовательно,
и
, т.е.
. Включение
доказано.
Пусть
. Это означает, что одновременно и
(т.е.
и
), и
(т.е.
и
). Так как
и
, то
. Но
, следовательно,
. Включение
доказано. Из справедливости доказанных включений следует
справедливость формулы 11.