Интегрироване тригонометрических функций

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Найдём интеграл $ \int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла

Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$

  Найдём интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\sin^5x\sqrt[3]{\cos x}\,dx.$

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}dx.$

Найдём интеграл $\displaystyle \int\sin^3x\cos^2x\,dx.$

Интеграл произведения синусов и косинусов

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

пример

пример

задача

  Общепринятые обозначения множеств:

 N = { 1, 2, 3, …} - множество натуральных чисел;

 Z = {… ,-4, -3 -2,- 1, 0, 1, 2, 3, ….} - множество целых чисел;

  Q =  - множество рациональных чисел.

 R - множество вещественных чисел.

 Рассмотрим простой пример. Пусть А, В, С - подмножества множества N:

А={1, 2, 6, 18}; В={6, 1, 18}; С={2, 18, 6, 1},. В этом случае А = С;   и , .

 Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. В любой имеющей смысл задаче обычно рассматриваются подмножества некоторого "наибольшего" множества U, которое называют универсальным множеством. Так, на рис. 1 изображено универсальное множество U и два его подмножества - множества А и В, . Сами картинки типа рис. 1 называются диаграммами Эйлера-Венна.

1.2. Операции над множествами.

 В этом параграфе будут рассмотрены три простые операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и разность (дополнение) множеств.

  Опр.1.2.1. Пусть даны множества А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

 Объединение множеств обозначается символами "+" и "": . Пусть, например, А={-6, -3, 0, 3, 6} B={0, 2, 4, 6, 8}. Тогда . Геометрически объединение множеств изображено на рис. 2.

 Аналогично определяется объединение большего числа множеств.

  Опр.1.2.2. Объединением множеств А1, А2, А3, …, Аn (обозначение   называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А1, А2, А3, …, Аn.

Свойства операции объединения.

 Теор. 1.2.1. Справедливы следующие равенства:

  (коммутативность);

В)С=АС) (ассоциативность);

Если , то АВ= А;

А Ø= А.

Док-во. Формулы, подобные формулам 1-2, обычно доказываются так. Берётся элемент, принадлежащий правой части равенства, и доказывается, что он принадлежит левой части. В результате для формулы 1, например, будет доказано, что . Затем берётся элемент, принадлежащий левой части, и доказывается, что он принадлежит правой части равенства; для формулы 1 это будет означать, что . Из включений  и  следует, что .

Итак, пусть . Это значит, что либо , либо , либо одновременно  и . Во всех трех случаях . Включение  доказано. Пусть теперь . Это значит, что либо , либо , либо одновременно  и . Во всех трех случаях . Включение  доказано. Следовательно, , что и требовалось доказать.

Другой способ доказательства - изобразить левую и правую часть равенства для одних и тех же множеств на диаграммах Эйлера-Венна и убедиться, что они изображают одно и тоже множество. Так, для формулы 1 диаграммы приведены слева.

Задание. Самостоятельно доказать включения соответствующих множеств и изобразить диаграммы для формул 2-4.

 
Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники