Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Найдём разложение по формуле Тейлора

     для функции $\displaystyle f(x;y)=e^x\sin y$

 

в точке $ O(0;0)$ , до слагаемых третьего порядка включительно.

Значение функции в точке $ O$ : $ f(0;0)=e^0\sin0=0$ .

Частные производные первого порядка равны

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=e^x\sin y;\ \frac{\partial f}{\partial y}=e^x\cos y;$

их значения в точке $ O$ :

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0;0)=0;\ \frac{\partial f}{\partial y}(0;0)=1.$

Частные производные второго порядка равны

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x^2}=e^x\sin y;\ %
\frac{\pat^2f}{\pat x\pat...
...ac{\pat^2f}{\pat y\pat x}=
e^x\cos y;\ %
\frac{\pat^2f}{\pat y^2}=-e^x\sin y;$

их значения в точке $ O$ :

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x^2}(0;0)=0;\ %
\frac{\pat^2f}{\pat x\pat y}...
...)=
\frac{\pat^2f}{\pat y\pat x}(0;0)=
1;\ %
\frac{\pat^2f}{\pat y^2}(0;0)=0.$

Наконец, частные производные третьего порядка равны

 

$\displaystyle \frac{\pat^3f}{\pat x^3}=e^x\sin y;\ %
\frac{\pat^2f}{\pat x^2\p...
...\pat^3f}{\pat x\pat y^2}=
-e^x\sin y;\ %
\frac{\pat^3f}{\pat y^3}=-e^x\cos y;$

их значения в точке $ O$ :

 

$\displaystyle \frac{\pat^3f}{\pat x^3}(0;0)=0;\ %
\frac{\pat^2f}{\pat x^2\pat ...
...
\frac{\pat^3f}{\pat x\pat y^2}(0;0)=
0;\ %
\frac{\pat^3f}{\pat y^3}(0;0)=-1.$

Значит, формула Тейлора, учитывающая слагаемые до третьего порядка включительно, такова:

$\displaystyle f(x;y)=e^x\sin y\approx$   
$\displaystyle \approx0+0\cdot(x-0)+1\cdot(y-0)+$   
$\displaystyle +\frac{1}{2!}\Bigl(0\cdot(x-0)^2+2\cdot1\cdot(x-0)(y-0)+0\cdot(y-0)^2\Bigr)+$   
$\displaystyle +\frac{1}{3!}\Bigl(0\cdot(x-0)^3+3\cdot1\cdot(x-0)^2(y-0)+
 3\cdot0\cdot(x-0)(y-0)^2+(-1)\cdot(y-0)^3\Bigr)=$   
$\displaystyle =y+xy+\frac{1}{2}x^2y-\frac{1}{6}y^3.$   

Ответ: $ f(x;y)=e^x\sin y\approx y+xy+\frac{1}{2}x^2y-\frac{1}{6}y^3.$

Выделение главной части функции.

 Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых.


Рациональные функции и их интегрирование