Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Примеры и задачи по высшей математике

   Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .

Имеем:

$\displaystyle f(1;1)=1^1=1;$   
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1;1)=yx^{y-1}
 \Bigl\vert _{x=1;y=1...
...
 \frac{\partial f}{\partial y}(1;1)=
 x^y\ln x\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1^1\ln1=0;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x^2}(1;1)=
 y(y-1)x^{y-2}\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1\cdot0\cdot1^{-1}=0;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x\pat y}(1;1)=
 \Bigl(yx^{y-1}\ln x+x^y\cdot\frac{1}{x}\Bigr)\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1\cdot1^0\ln1+
 1^0=1;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat y^2}(1;1)=
 x^y\ln^2x\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1^1(\ln1)^2=0.$ Вычисление площадей в полярных координатах Геометрические и физические приложения кратных интегралов    

Поэтому искомое приближение будет иметь вид

$\displaystyle f(x;y)=x^y\approx1+1(x-1)+0(y-1)+$   
$\displaystyle +\frac{1}{2}(0(x-1)^2+2\cdot1(x-1)(y-1)+0(y-1)^2)=
 1+(x-1)+(x-1)(y-1).$   

Подставляя сюда $ x=0{,}98=1+(-0{,}02)$ и $ y=1{,}05=1+0{,}05$ , получаем:

 

$\displaystyle 0{,}98^{1{,}05}\approx1+(-0{,}02)+(-0{,}02)\cdot0{,}05=0{,}979.$

Ответ: $ f(x;y)=x^y\approx1+(x-1)+(x-1)(y-1);$ $ 0{,}98^{1{,}05}\approx0{,}979.$     

С помощью формулы Тейлора можно получать разложение многочленов от переменных $ x_1;\dots;x_n$ по степеням биномов $ (x_1-x_1^0),\ \dots,\ (x_n-x_n^0)$

Выделение главной части функции.

 Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых.


Рациональные функции и их интегрирование