Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Вычислим площадь поверхности вращения

 

   Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ , при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Рис.6.31.



Для вычисления применим формулу (6.10): Геометрические и физические приложения кратных интегралов Вычисление площади кривой поверхности

 

$\displaystyle Q=2\pi\int_a^b\vert y\vert\sqrt{1+(y'_x)^2}\;dx.$

Имеем: $ x'_t=1-\cos t$ , $ y'_t=\sin t$ , так что

 

$\displaystyle y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=
\frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}}=\mathop{\rm ctg}\nolimits \frac{t}{2}.$

Для перехода под знаком интеграла к переменной $ t$ заметим, что при $ x\in[0;2\pi]$ получаем $ t\in[0;2\pi]$ , а также

 

$\displaystyle dx=(1-\cos t)dt=2\sin^2\frac{t}{2}\;dt.$

Кроме того, предварительно вычислим

 

$\displaystyle y=1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2}\geqslant 0$

(так что $ \vert y\vert=y$ ) и

 

$\displaystyle \sqrt{1+(y'_x)^2}=\sqrt{1+\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2\frac{t}{2}}=\sqrt{\frac{1}{\sin^2\frac{t}{2}}}=
\frac{1}{\sin\frac{t}{2}}.$

Получаем:

 

$\displaystyle Q=2\pi\int_0^{2\pi}2\sin^2\frac{t}{2}\cdot\frac{1}{\sin\frac{t}{2}}
\cdot2\sin^2\frac{t}{2}\;dt=
8\pi\int_0^{2\pi}\sin^3\frac{t}{2}\;dt.$

Делая замену $ c=\cos\frac{t}{2}$ , приходим к интегралу

$\displaystyle Q=
 8\pi\int_0^{2\pi}\underbrace{\sin^2\frac{t}{2}}_{1-c^2}
 \und...
...cos\frac{t}{2})=-2dc}=
 -16\pi\int_1^{-1}(1-c^2)dc=
 16\pi\int_{-1}^1(1-c^2)dc=$   
$\displaystyle =16\pi\bigl(c-\frac{c^3}{3}\bigr)\Bigr\vert _{-1}^1=\frac{64\pi}{3}.$   
  
       

  

Выделение главной части функции.

 Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых.


Рациональные функции и их интегрирование