Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Определение первообразной и её свойства

 

 Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\vert x\vert$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathcal{D}$ .

Действительно, при $ x>0$

 

$\displaystyle F'(x)=x'=1$

и

 

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}=\frac{x}{x}=1;$

при $ x<0$ Теоремы о пределах функций Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

 

$\displaystyle F'(x)=(-x)'=-1$

и

 

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}=\frac{x}{-x}=-1.$

    

Итак, $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ , если $ f(x)$  -- производная от $ F(x)$ . Например, $ F(x)=x^2$  -- первообразная для $ f(x)=2x$ , поскольку $ (x^2)'=2x$ ; $ F(x)=\sin x$  -- первообразная для $ f(x)=\cos x$ , поскольку $ (\sin x)'=\cos x$ , и т. п. Тем самым, нахождение первообразной определяется как операция, обратная к операции вычисления производной. Найти первообразную по данной функции $ f(x)$ означает восстановить функцию $ F(x)$ по её производной.

Предел функции одной переменной. Предел функции. В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела. Определение предела функции в точке.


Рациональные функции и их интегрирование