Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx.$

 

Подынтегральная функция рациональным образом зависит от $ v=\sqrt[6]{x}$ , поскольку её можно записать в виде
$\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}=
\frac{(\sqrt[6]{x})^3+1}{(\sqrt[6]{x})^2-\sqrt[6]{x}}=
\frac{v^3+1}{v^2-v}.$

Сделаем замену $ v=\sqrt[6]{x}$ :
$\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx=
\left\vert\b...
...right\vert=
\int\frac{v^3+1}{v^2-v}\cdot6v^5dv=
6\int\frac{v^7+v^4}{v-1}\,dv.$

Получили интеграл от рациональной дроби $ \frac{\textstyle{v^7+v^4}}{\textstyle{v-1}},$ которая является неправильной дробью, поскольку степень её числителя, равная 7, больше степени знаменателя, равной 1. Значит, нужно выделить в этой дроби целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель "столбиком": Функции одной переменной Определение функциональной зависимости Определение Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x  Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у  Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y — областью значений (изменения) функции.

 

\begin{displaymath}
\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrrrrrrr@{\,}r\vert l}
...
...&&2v\\
&&&&&&2v&{}-2\\
\cline{7-8}
&&&&&&&2
\end{array}
\end{displaymath}

Получили частное $ v^6+v^5+v^4+2v^3+2v^2+2v+2$ и остаток 2, значит, неправильная дробь представляется в виде

 

$\displaystyle \frac{v^7+v^4}{v-1}=v^6+v^5+v^4+2v^3+2v^2+2v+2+\frac{2}{v-1}.$

Теперь можно вычислить интеграл:

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx=
 6\int\frac{v^7+v^4}{v-1}\,dv=
 6\int\Bigl(v^6+v^5+v^4+2v^3+2v^2+2v+2+\frac{2}{v-1}\Bigr)\,dv=$   
$\displaystyle =6\Bigl(\frac{v^7}{7}+\frac{v^6}{6}+\frac{v^5}{5}+2\frac{v^4}{4}+...
...
 +2\frac{v^2}{2}+2v+2\ln\vert v-1\vert\Bigr)+C\Bigr\vert _{v=x^{\frac{1}{6}}}=$   
$\displaystyle =\frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+x+\frac{6}{5}x^{\frac{5}{6}}+3x^{\fra...
...}{2}}
 +6x^{\frac{1}{3}}+12x^{\frac{1}{6}}+12\ln\vert x^{\frac{1}{6}}-1\vert+C.$   

Предел функции одной переменной. Предел функции. В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела. Определение предела функции в точке.


Рациональные функции и их интегрирование