Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Свойства градиента и производной по направлению

Пусть в $ \mathbb{R}^2$ задана функция $\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}.$

 

Тогда при $ C<0$ её линия уровня $ f(x)=C$ представляет собой пустое множество, так как при всех $ x_1,x_2$ верно неравенство

 

$\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}\geqslant 0.$

При $ C=0$ линия уровня состоит из одной точки $ O(0;0)$ , так как равенство

 

$\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}=0$

возможно лишь при $ x_1=0;\ x_2=0$ . Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.

При $ C>0$ уравнение

 

$\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}=C$

задаёт эллипс с центром в точке $ O(0;0)$ и полуосями $ a=\sqrt{C}$ и $ b=2\sqrt{C}$ , поскольку при $ C>0$ уравнение можно записать в виде

 

$\displaystyle \frac{x^2_1}{\sqrt{C}}+\frac{x_2^2}{4\sqrt{C}}=1.$

Рис.8.1.



При увеличении $ C$ полуоси $ a$ и $ b$ увеличиваются пропорционально друг другу, так что эксцентриситеты всех эллипсов совпадают.

Предел функции одной переменной. Предел функции. В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела. Определение предела функции в точке.


Рациональные функции и их интегрирование