Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

 

Найдём частные производные функции $ f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным $ x$ и $ y$ .

Для нахождения производных $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}$ и $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}$ удобнее записать функцию в виде

 

$\displaystyle f(x;y)=\frac{x^2+3y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=xy^{-1}+yx^{-1}.$

Тогда при вычислении производной по $ x$ нужно считать $ y$ постоянным:

 

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}=1\cdot y^{-1}+y\cdot(-1)x^{-2}=\frac{1}{y}-\frac{y}{x^2},$

поскольку (при фиксированном $ y$ ) множители $ y^{-1}$ и $ y$ служат постоянными и выносятся за знак производной, а производные (по $ x$ ) от $ x$ и $ x^{-1}$ равны, соответственно, 1 и $ (-1)x^{-2}$ .

Производную по $ y$ находим аналогично, считая $ x$ постоянным:

 

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}=x\cdot(-1)y^{-2}+1\cdot x^{-1}=-\frac{x}{y^2}+\frac{1}{x}.$

Итак,

 

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}=\frac{1}{y}-\frac{y}...
...},\ %
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}=-\frac{x}{y^2}+\frac{1}{x}.$

    

     

Предел функции одной переменной. Предел функции. В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела. Определение предела функции в точке.


Рациональные функции и их интегрирование