Сопромат
Электротехника
Курсовая
Типовой
Фото
Энергетика
Геометрия
Физика

Лекции

Математика
Искусство
Контрольная

Курс

Примеры
Архитектура
На главную

К настоящему времени известны четыре вида основных фундаментальных взаимодействий: гравитационное; электромагнитное; сильное; слабое. Между двумя точечными телами действует сила притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Предполагается, что гравитационное взаимодействие обуславливается некими элементарными частицами — гравитонами, существование которых к настоящему времени экспериментально не подтверждено.

Интегралы - О "неберущихся" интегралах

Ещё один неберущийся интеграл: $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

 

Одна из первообразных -- та, что мы использовали в правой части и обозначили $ \mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)$  -- называется интегральным косинусом.      Задача заключается в выборе такого распределения ресурсов по объектам, при котором минимизируется стоимость назначений. Предполагается, что каждый ресурс назначается ровно один раз и каждому объекту приписывается ровно один ресурс.

        Пример 1.11  
$\displaystyle \int\frac{e^x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)+C$ --

это тоже неберущийся интеграл. Одна из первообразных, которую мы обозначили $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ , -- специальная функция, называющаяся интегральной экспонентой.     

Как уже говорилось, выделение главной части функции в совокупности с теор.4.4.9.2 о замене БМ и ББ на эквивалентные - наиболее мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Пример: выделив главные части числителя и знаменателя, найти

. Решение: ~= x, ~~ ~~3x, поэтому

  Примеры с использованием полученных в разделе 4.5.2 главных частей:

  (примеры 1 и 3);

 (примеры 2 и 4) и т.д.

5. Непрерывность функций.

5.1. Определение непрерывности функции в точке.

 Опр.5.1.1. Пусть функция y = f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если:

существует ;

этот предел равен значению функции в точке х0: .

При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть неопределена в точке х0, а если она определена в этой точке, то значение f(х0) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(х0) существует, и это значение должно быть равно . Переведём опр.5.1.1 на язык e-d:

Опр.5.1.2. Пусть функция y = f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для "e>0 существует положительное число d, такое что для всех х из d-окрестности точки х0 (т.е. если |х- х0 |<d) выполняется неравенство | f(x) - f(х0) |<e.

Определенный интеграл.

11.1. Определение.

 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке    задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь   трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .


Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание  фигуры точками  на  частей символом  будем обозначать длину -го отрезка: . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение  (это произведение равно площади прямоугольника  с основанием  и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим : .

  равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками , ; на левом рисунке эта площадь заштрихована.  не равна искомой площади , она только даёт некоторое приближение к . Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество  отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков  стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при  (слева) и при   (справа)). При  разница между  и  будет тоже стремиться к нулю, т.е. 

 .

 11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке   задана функция . Разобьём отрезок  произвольным образом на  частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку  и составим сумму .

Сумма   называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка  на части , ни от выбора точек , то функция  называется интегрируемой по отрезку , а этот предел называется определённым интегралом от функции  по отрезку  и обозначается

 .

 Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа  и  - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: .

 В этом определении предполагается, что . Для других случаев примем, тоже по определению:

 Если , то ; если , то .

Элементы математической логики.

Высказывания и действия над ними.

Утверждение, относительно которого известно, истинно оно или ложно, будем называть высказыванием.

 Примеры: (A) число 6 больше числа 2; (B) число 6 меньше или равно числу 2; (C) Волга впадает в Каспийское море; (D) Путин - наш президент; (Е) чтобы хорошо жить, надо хорошо учиться.


Справочник

Энергосбережение
Информатика
Расчет электроцепи
Атомная энергетика