Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

 

    Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду) $\displaystyle z=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$

 

в точке $ (4;4;z_0)$ . Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой продукции (выпуск станков, телевизоров, автомобилей и т.д.).

Рис.7.27.



Вычислим частные производные функции

 

$\displaystyle f(x;y)=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4};$

они равны

 

$\displaystyle f'_x(x;y)=\frac{x}{8};\ f'_y(x;y)=\frac{y}{2}.$

Их значения в точке $ M_0(4;4)$ равны

 

$\displaystyle f'_x(4;4)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2};\ f'_y(4;4)=\frac{4}{2}=2.$

Сама функция в точке $ M_0$ принимает значение

$\displaystyle z_0=f(4;4)=\frac{4^2}{16}-\frac{4^2}{4}=1+4=5.$

Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности можно записать в виде

 

$\displaystyle \frac{1}{2}(x-4)+2(y-4)-(z-5)=0;$

раскрывая скобки и умножая на 2, приводим это уравнение к виду

 

$\displaystyle x+4y-2z-10=0.$

Уравнения нормальной прямой можно записать в каноническом виде:

 

$\displaystyle \frac{x-4}{\frac{1}{2}}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{-1}.$

    

     
    

Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала. При вычислении высших дифференциалов необходимо учитывать, что дифференциал независимой переменной - произвольная и независимая от х величина, которая при дифференцировании рассматривается как постоянная.
Рациональные функции и их интегрирование