Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Интегралы - Примеры и задачи

 

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Рис.6.30.



Так как

 

$\displaystyle y'=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\mathop{\rm tg}\nolimits x$

и

 

$\displaystyle \sqrt{1+{y'}^2}=\sqrt{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2x}}=\frac{1}{\cos x}$

(мы взяли в качестве значения корня $ \cos x$ , а не $ -\cos x$ , поскольку $ \cos x>0$ при $ x\in[0;\frac{\pi}{3}]$ ), длина дуги равна

$\displaystyle l=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{1+{y'}^2}\;dx=
 \int_0^{\frac{\pi}{...
...pi}{6}+\frac{\pi}{4})\vert-\ln\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\pi}{4}\vert=$   
$\displaystyle =\ln\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{5\pi}{12}=$   
$\displaystyle =\ln\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\pi}{6}+\mathop{\rm tg}\...
...\ln\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\ln\frac{(3+\sqrt{3})^2}{6}=
 \ln(2+\sqrt{3}).$   

Ответ: $ l=\ln\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{5\pi}{12}=\ln(2+\sqrt{3}).$ Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала. При вычислении высших дифференциалов необходимо учитывать, что дифференциал независимой переменной - произвольная и независимая от х величина, которая при дифференцировании рассматривается как постоянная.
Рациональные функции и их интегрирование