Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Несобственные интегралы первого рода


Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$

Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции $\displaystyle \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx,$

а потом вычислить предел
$\displaystyle I=\lim_{b\to+\infty}\Phi(b).$

Итак,

 

$\displaystyle \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx=
\mathop{\rm arctg}\nolimits x\Bigl\vert _0^b=\mathop{\rm arctg}\nolimits b$

(напомним, что $ \mathop{\rm arctg}\nolimits 0=0$ ) и
$\displaystyle I=\lim_{b\to+\infty}\mathop{\rm arctg}\nolimits b=\frac{\pi}{2}.$

Получили, что интеграл сходится и его значение таково:
$\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx=\frac{\pi}{2}.$

Заметим, что тем самым мы вычислили площадь бесконечно длинной области под графиком $ y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$ , лежащей над положительной полуосью (см. рис.).

Рис.4.3.



Поскольку рассматриваемая функция>$ f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$  -- чётная, то её график симметричен относительно оси $ Oy$ , так что площадь под графиком левее оси $ Oy$  -- точно такая же, как и площадь правее оси $ Oy$ , то есть тоже равна $ \frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}$ , а площадь под всем графиком (над всей осью $ Ox$ ) естественно считать равной >$ \frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}+\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}=\pi.$ Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала. При вычислении высших дифференциалов необходимо учитывать, что дифференциал независимой переменной - произвольная и независимая от х величина, которая при дифференцировании рассматривается как постоянная.
Рациональные функции и их интегрирование