Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Свойства несобственных интегралов первого рода

  Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$

При больших $ x$ в числителе ведущую роль играет $ x^2$ , поскольку $ x^4\gg3x$ и $ x^2\gg2$ , а в знаменателе ведущая роль принадлежит $ x^5$ , поскольку $ x^5\gg1$ . Поэтому при больших $ x$ подынтегральная функция

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}$

принимает почти такие же значения, что и функция
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$

Интеграл от $ g(x)$ расходится, поскольку показатель $ p=\frac{1}{2}$ меньше 1. (Для интеграла по промежутку $ [1;+\infty)$ мы это проверяли выше, а расходимость интеграла по промежутку
$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}>g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$

Действительно, у дроби в левой части числитель больше, а знаменатель меньше, чем у первой дроби в правой части.

Итак, условия теоремы 4.2 проверены. На основании этой теоремы (точнее, её второго утверждения) мы можем заключить, что данный нам интеграл $ \int_2^{+\infty}\frac{\textstyle{x^2+3x+2}}{\textstyle{\sqrt{x^5-1}}}dx$ расходится.     

Докажем ещё одно важное свойство несобственного интеграла первого рода. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Именно близость исходной функции и её касательной в окрестности точки касания служит источником многочисленных приближённых формул для вычисления значений функций. По теор.6.2 (раздел 6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную) Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0; с учётом того, что у'(x) Dх = у'(x)dх = dy, пренебрегая бесконечно малым слагаемым высшего порядка по сравнению с Dх, получим Dу @ dу. Так как Dу=у(x+Dх)- у(x), то формула для приближённого значения у(x+Dх) будет иметь вид у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. На практике этой формулой пользуются так. Пусть требуется вычислить значение функции в точке х1. Подбирают близкую к точке х1 точку x, в которой легко вычислить точное значение у(x) и у'(x), тогда Dх = х1- х и у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. Примеры:
Рациональные функции и их интегрирование