Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

  Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx.$

 

В подкоренном выражении выделим полный квадрат:

 

$\displaystyle 4x^2+4x+5=4\Bigl(x^2+2x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Bigr)+
\Bigl...
...r)=
4\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2+4=4\Bigl(\bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2+1\Bigr).$

Делаем замену $ z=x+\frac{1}{2}$ :

$\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...d{array}\right\vert=
 \frac{1}{2}\int\frac{3(z-\frac{1}{2})+5}{\sqrt{z^2+1}}dz=$   
$\displaystyle =\frac{3}{2}\int\frac{z\,dz}{\sqrt{z^2+1}}+
 \frac{7}{4}\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}}.$(2.1)

В первом из двух интегралов сделаем ещё одну замену, $ u=z^2+1$ :

 

$\displaystyle \int\frac{z\,dz}{\sqrt{z^2+1}}=
\left\vert\begin{array}{l}
u=z^...
...ac{1}{2}\cdot\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\sqrt{u}+C=
\sqrt{z^2+1}+C.$

Второй интеграл -- табличный:

 

$\displaystyle \int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}}=
\ln\vert z+\sqrt{z^2+1}\vert+C.$

Продолжая равенство (2.1) и возвращаясь к исходной переменной $ x$ , получаем:

\begin{multline*}
\int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx=
\frac{3}{2}\sqrt{z^2+1}...
...igl\vert x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x+5}\Bigr\vert+C.
\end{multline*}

Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Именно близость исходной функции и её касательной в окрестности точки касания служит источником многочисленных приближённых формул для вычисления значений функций. По теор.6.2 (раздел 6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную) Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0; с учётом того, что у'(x) Dх = у'(x)dх = dy, пренебрегая бесконечно малым слагаемым высшего порядка по сравнению с Dх, получим Dу @ dу. Так как Dу=у(x+Dх)- у(x), то формула для приближённого значения у(x+Dх) будет иметь вид у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. На практике этой формулой пользуются так. Пусть требуется вычислить значение функции в точке х1. Подбирают близкую к точке х1 точку x, в которой легко вычислить точное значение у(x) и у'(x), тогда Dх = х1- х и у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. Примеры:
Рациональные функции и их интегрирование