Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Несобственные интегралы второго рода

 Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции -->$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ .

(Заметим, что функция $ f(x)$ не определена при $ \vert x\vert\geqslant 1$ и стремится к $ +\infty$ при $ x\to1-$ , так что указанная фигура -- неограниченная и площадь задаётся несобственным интегралом второго рода (см. рис.):

$\displaystyle S=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Рис.4.8.



Возьмём -->$ b_1\in[0;1)$ и вычислим обычный (собственный) определённый интеграл

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Имеем по теореме Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\arcsin x\Bigr\vert _0^{b_1}=\arcsin b_1-\arcsin 0=\arcsin b_1.$

Далее вычисляем предел:

$\displaystyle \lim_{b_1\to1-}\Phi(b_1)=
\lim_{b_1\to1-}\arcsin b_1=\frac{\pi}{2}.$

Поскольку оказалось, что предел существует, то несобственный интеграл сходится, а искомая площадь равна его значению:

$\displaystyle S=\frac{\pi}{2}.$

Теорема Коши.

 Теор.7.4. Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке [a,b]; 2. имеют производные f '(x) и g'(х) на интервале (a,b); 3. g'(х) ¹ 0 на интервале (a,b). Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

 Док-во. Отметим предварительно, что g(b) ¹ g(a) (иначе по теореме Ролля нашлась бы точка сÎ(a,b), в которой g '(с) = 0, что противоречит условию теоремы), так что дробь в правой части формулы Коши имеет смысл. Рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля (проверить!), поэтому $ сÎ(a,b), в которой F '(с) = 0. , поэтому в точке с , т.е. , что и требовалось доказать.

 Легко убедиться, что теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при .

7.5. Теоремы Лопиталя.

 Теор.7.5 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке 

[a, b]; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует, и .

 Док-во. Так как функции f (х) и g (х) непрерывны в точке а, то , , и . Для функций f (х) и g (х) на отрезке [a, х] выполняются условия теоремы Коши, поэтому существует точка сÎ(a, х), такая что . Устремим , при этом и . В пределе получим, что и требовалось доказать.

 Распространим доказанную теорему на случай :

 Теор.7.6. Пусть функции f (х) и g (х): 1. определены и непрерывны на бесконечном полуинтервале [a, +¥), а>0; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a, +¥), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует , и .

 Док-во. Перейдём к новой переменной t=1/x; x=1/t. Если , то . На отрезке  рассмотрим функции  и . Эти функции удовлетворяют условиям теоремы 7.5, поэтому . С другой стороны, , откуда и следует справедливость утверждения теоремы.

 Сформулируем без доказательства теорему, которая позволяет раскрывать неопределённости вида :

 Теор.7.7 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на полуинтервале (a, b]; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует, и .

Теорема остаётся справедливой и для случаев . В целом теоремы Лопиталя - это мощное средство для раскрытия неопределённостей всех видов.

Формула для приращения функции, имеющей производную.

Непрерывность функции, имеющей производную. Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.


Рациональные функции и их интегрирование