|
Основные теоремы дифференциального исчисления.
В этом и следующем разделах будет исследован вопрос: какую информацию о поведении функции f(x) можно получить, если известны производные этой функции?
7.1. Теорема Ферма.
7.1.1. Определение экстремума функции.
Опр.7.1. Пусть х0 - внутренняя точка области определения Х функции
f(x), т.е. х0Î Х вместе с некоторой
своей
-окрестностью. Точка х0
называется точкой (строгого) максимума функции f(x) (или f(x) имеет максимум в
точке х0), если для любого х из проколотой
-окрестности
этой точки выполняется неравенство f(x)< f(х0). (Если
для
выполняется
, точка х0 называется точкой нестрогого
максимума функции f(x)).
Соответственно, точка х0 называется точкой (строгого)
минимума функции f(x) (или f(x) имеет минимум в точке х0), если в некоторой проколотой
окрестности этой точки для любого
хÎ
выполняется неравенство f(x)> f(х0).
Общее название для максимума и минимума функции - экстремум; точки, в которых достигается максимум или минимум - точки экстремума.
Эти определения носят локальный характер: значение функции в точке экстремума сравнивается с значениями в близко лежащих точках. На приведенном выше рисунке точки M1, M2 - точки строгого максимума, точки m1, m3 - точки строгого минимума, m2- точка нестрогого минимума; при этом минимум функции в точке m1 больше, чем максимум в точке M2.
7.1.2. Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции. Пусть
функция имеет в точке
конечную производную
. Тогда если
, то
возрастает в точке
(т.е. для значений х из некоторой окрестности точки
выполняются условия: если
, то
, если
, то
. Если
, то
убывает в точке
(т.е. для значений х из некоторой окрестности точки
выполняются условия: если
, то
, если
, то
).
Если в формулировке теоремы иметь в виду одностороннюю
производную, например, справа, то утверждение теоремы будет справедливо для значений
х, находящихся справа от , т.е. для
.
Док-во. По определению, . Рассмотрим случай
. По теор.4.4.4 (о сохранении функцией знака
предела) существует окрестность точки
, в которой
, что означает
, т.е. возрастание функции f(x) в точке
.
Случай рассматривается аналогично.
Формула для приращения функции, имеющей производную.
Непрерывность функции, имеющей производную. Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.
Рациональные функции и их интегрирование |