Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Площадь области, лежащей между двумя графиками

  Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками $ y=x^3$ и $ y=x^5$ . Решая уравнение $ x^3=x^5$ , находим, что эти графики пересекаются в трёх точках: $ (-1;-1)$ , $ (0;0)$ и $ (1;1)$ , причём на отрезке $ [-1;0]$ выше расположен график $ y=x^5$ , а на отрезке $ [0;1]$  -- график $ y=x^3$ . Так как обе функции нечётны, то чертёж обоих графиков симметричен относительно начала координат, и площадь левой части области между графиками (при $ x\in[-1;0]$ ) равна площади правой части области (при $ x\in[0;1]$ ).

Рис.6.3.



Поэтому искомую площадь можно подсчитать так:

 

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=2\int_0^1(x^3-x^5)\;dx=
2\Bigl(\frac{x^4}{4}-\fr...
...^6}{6}\Bigr)\Bigl\vert _0^1=
2\bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\bigr)=\frac{1}{6}.$

Основные теоремы дифференциального исчисления.

 В этом и следующем разделах будет исследован вопрос: какую информацию о поведении функции f(x) можно получить, если известны производные этой функции?

7.1. Теорема Ферма.

 7.1.1. Определение экстремума функции.

Опр.7.1. Пусть х0 - внутренняя точка области определения Х функции f(x), т.е. х0Î Х вместе с некоторой своей -окрестностью. Точка х0 называется точкой (строгого) максимума функции f(x) (или f(x) имеет максимум в точке х0), если для любого х из проколотой -окрестности  этой точки выполняется неравенство f(x)< f(х0). (Если для  выполняется , точка х0 называется точкой нестрогого максимума функции f(x)).

 Соответственно, точка х0 называется точкой (строгого) минимума функции f(x) (или f(x) имеет минимум в точке х0), если в некоторой проколотой окрестности  этой точки для любого хÎ выполняется неравенство f(x)> f(х0).

  Общее название для максимума и минимума функции - экстремум; точки, в которых достигается максимум или минимум - точки экстремума.

 Эти определения носят локальный характер: значение функции в точке экстремума сравнивается с значениями в близко лежащих точках. На приведенном выше рисунке точки M1, M2 - точки строгого максимума, точки m1, m3 - точки строгого минимума, m2- точка нестрогого минимума; при этом минимум функции в точке m1 больше, чем максимум в точке M2.

  7.1.2. Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции. Пусть функция  имеет в точке  конечную производную . Тогда если , то  возрастает в точке  (т.е. для значений х из некоторой окрестности точки выполняются условия: если , то , если , то . Если , то  убывает в точке  (т.е. для значений х из некоторой окрестности точки   выполняются условия: если , то , если , то ).

 Если в формулировке теоремы иметь в виду одностороннюю производную, например, справа, то утверждение теоремы будет справедливо для значений х, находящихся справа от , т.е. для .

 Док-во. По определению, . Рассмотрим случай . По теор.4.4.4 (о сохранении функцией знака предела) существует окрестность точки , в которой , что означает  , т.е. возрастание функции f(x) в точке .

 Случай  рассматривается аналогично.

Формула для приращения функции, имеющей производную.

Непрерывность функции, имеющей производную. Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.


Рациональные функции и их интегрирование