Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Свойства несобственных интегралов первого рода

   Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Наводящие соображения насчёт того, с какой функцией сравнивать подынтегральную функцию
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3+1}},$

таковы: при больших значениях $ x$ ведущую роль в знаменателе играет $ x^3$ , поскольку $ 1\ll x$ при больших $ x$ ; значит, если откинуть 1, получим функцию
$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}.$

Поскольку её показатель $ p=\frac{3}{2}$ больше 1, то интеграл
$\displaystyle Z(\frac{3}{2})=
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}}=
\int_1^{+\infty}g(x)\;dx$

сходится. В то же время имеет место неравенство
$\displaystyle 0<f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}<\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=g(x),$

поскольку, очевидно,
$\displaystyle \sqrt{x^3+1}>\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}.$

Итак, интеграл от большей функции $ g(x)$ сходится, откуда следует сходимость исходного интеграла $ \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Таблица производных и дифференциалов.

  Соберём полученные в разделах 6.2, 6.3, 6.5 выражения для производных и следующие из них выражения для дифференциалов в одну таблицу:

y(x)

y'(x)

dy

y(x)

y'(x)

dy

1

y = C

0

0

10

2

у = ха

a ха-1

a ха-1dx

11

3

12

3a

14

4

15

4a

16

5

17

6

18

7

19

8

20

9

21

6.10. Производные функций, заданных параметрически и неявно.

  6.10.1. Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: . Здесь мы воспользовались результатами разделов 6.5.5. Производная сложной функции и 6.3. Производная обратной функции. То же выражение можно получить из 6.8.2. Инвариантности формы первого дифференциала: .

Примеры:

. Тогда . В этом примере легко получить явную зависимость у от х: . Подставим сюда зависимость х от t: . Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

. Тогда .

6.10.2.

. Легко понять, что при этом всегда получится уравнение, линейное относительно y'(x), которое без труда решается: . Производная найдена, она совпадает с полученной в предыдущем разделе (с учётом явного выражения ).

2. . Дифференцируем по х, учитывая зависимость у от х:

.

Решаем это уравнение относительно y': .

Формула для приращения функции, имеющей производную.

Непрерывность функции, имеющей производную. Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.


Рациональные функции и их интегрирование