Интегралы от произведений синусов и косинусов Найдём объём тела Вычислим площадь поверхности вращения Вычислим длину дуги линии Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной

[an error occurred while processing this directive]

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

 

   Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ уравнением $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$

 

Найдём частные производные функции $ f(x;y;z)=x^2y+y^4z^2+xz^3-16:$

 

$\displaystyle f'_x=2xy+z^3;\ f'_y=x^2+4y^3z^2;\ f'_z=2y^4z+3xz^2.$

Заметим, что $ f'_z(2;-1;2)=28\ne0$ , так что рассматриваемое уравнение действительно задаёт некоторую функцию $ z={\varphi}(x;y)$ . Поскольку

 

$\displaystyle f'_x(2;-1;2)=4;\ f'_y(2;-1;2)=-12;\ f'_z(2;-1;2)=28,$

то

 

$\displaystyle {\varphi}'_x(2;-1)=-\frac{f'_x(2;-1;2)}{f'_z(2;-1;2)}=-\frac{4}{2...
...arphi}'_y(2;-1)=-\frac{f'_y(2;-1;2)}{f'_z(2;-1;2)}=-\frac{-12}{28}=\frac{3}{7}.$

Раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя.

Сравнение скорости роста логарифмической, степенной и показательной

функций при .

 Ниже приводятся примеры применения правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей. Подчеркнём, что в теоремах Лопиталя предполагается существование предела отношения производных, поэтому бессмысленно пытаться применить это правило к раскрытию, например, следующей неопределённости:

, и предела в правой части не существует. В тоже время эта неопределённость легко раскрывается элементарными методами:

.

7.6.1. Неопределённость .

.

.

Если правило Лопиталя снова приводит к неопределённости, оно может применяться неоднократно. При этом допустимы упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование известных пределов и т.д.:

  7.6.2. Неопределённость.

4.

  В следующих двух примерах мы сравним скорость роста при   логарифмической , степенной  и показательной  функций:

5. .

6. Предел  найдём вначале в случае, когда  - натуральное число. Применяя правило Лопиталя n раз, получим:

.

Пусть теперь b - произвольное вещественное число, b >0. Тогда n = E(b) £b< n+1,

 . Переходим к пределу при . Пределы отношений, стоящих слева и справа, равны нулю; по теор.4.4.6 о пределе промежуточной функции .

Вывод: при  = о(),=о() (), т.е. при  ББ функция  имеет более высокий порядок роста, чем ББ функции   и ; ББ функция  имеет более высокий порядок роста, чем ББ функция .

7.6.3. Неопределённость как и в разделе 4.5.3.2. легко свести к неопределённости  или : пусть f(x)®¥, g(x)®0 при х®а. Тогда представление даст неопределённость , представление даст неопределённость . Пример:

7.

8. .

 7.6.4. Неопределённость также можно свести к предыдущим случаям: если f(x)®¥, g(x)®¥ при х®а, то ; дробь  даёт неопределённость , если , получаем неопределённость , в других случаях неопределённость отсутствует. Можно представить  в виде , что даст неопределённость . Но, как и в разделе 4.5.3.4., цель можно достичь проще:

9.  Здесь мы применили правило Лопиталя только ко второму пределу-сомножителю.

 7.6.5. Показательно-степенные неопределённости  с помощью представления   приводятся к неопределённостям :

10.  Найдём предел, стоящий в показатели степени:  , так что исходный предел

Формула для приращения функции, имеющей производную.

Непрерывность функции, имеющей производную. Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.


Рациональные функции и их интегрирование