Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

[an error occurred while processing this directive]

Найдём интеграл при помощи интегрирования по частям

Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.

Поскольку функция $ e^{-3x}$ "практически не изменяется" при интегрировании (так как $ \int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}+C$ ), а функция $ u=x$ "сильно улучшается" при дифференцировании (так как $ x'=1$ ), то в формуле интегрирования по частям

 

$\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du$

нужно взять $ u=x$ , $ dv=e^{-3x}dx$ . Имеем тогда:

$\displaystyle \int xe^{-3x}dx=\left\vert\begin{array}{l}
 u=x\\ 
 dv=e^{-3x}dx\...
...^{-3x}
 \end{array}\right\vert=
 -\frac{x}{3}e^{-3x}+\frac{1}{3}\int e^{-3x}dx=$   
$\displaystyle =-\frac{x}{3}e^{-3x}+\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{3}e^{-3x})+C=
 -\frac{x}{3}e^{-3x}-\frac{1}{9}e^{-3x}+C.$   

Ответ: $ \int xe^{-3x}dx=-\frac{x}{3}e^{-3x}-\frac{1}{9}e^{-3x}+C.$

Производная сложной функции. Теор.6.3. Пусть функция   имеет в точке  производную , функция  имеет в точке  производную . Тогда сложная функция  имеет в точкепроизводную, равную произведению производных функций   и : .

 Док-во. Придадим переменной  приращение Dх, тогда переменная u получит приращение Du, как следствие, функция  получит приращение Dу. По Теор.6.2 о приращении функции, имеющей производную, , где a(Du) - БМ функция при Du ®0. Тогда . Перейдём к пределу при Dx ®0. Так как при этом Du ®0, то

 6.5.6.В качестве примера применения доказанных в этом разделе формул выведем формулы для производных оставшихся элементарных функций:

10. .

11.  доказывается аналогично.

12.

.

13.  доказывается аналогично.

14. .

15.   - доказывается аналогично.

16. .

17. - доказывается аналогично.

18. .

19.   - доказывается аналогично.

20. .

21.  - доказывается аналогично (формула (20) справедлива при |x|<1, (21) - при |x|>1).

6.6. Примеры вычисления производной.

 Вывод формул производных функций, в которых применяются только арифметические действия, обычно не представляет трудностей:

1.

Множества мощности континуум.

Множество мощности континуум несчётно.

Применим метод доказательства от противного. Множество мощности континуум - множество, равномощное множеству точек любого отрезка. Возьмём отрезок [0,1]. Каждой точке хÎ[0,1] сопоставим представление числа х в виде бесконечной десятичной дроби вида х=a0, a1a2a3…..; это представление единственно, если договориться, что в случаях возможной неоднозначности (число 0,5, например, можно представить и в виде 0,5000000…., и в виде 0,4999999….) применяется представление с периодом, равным нулю. Предположим, что множество точек, а следовательно, и множество таких дробей счётно, т.е. они могут быть пронумерованы, в качестве номера используем верхний индекс:


Рациональные функции и их интегрирование