Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

[an error occurred while processing this directive]

Интегралы - О "неберущихся" интегралах

   Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Для этого сделаем замену переменного $ z=\sqrt{2}\,x$ :

$\displaystyle \int e^{-x^2}dx=\left\vert\begin{array}{l}
 z=\sqrt{2}x\\ 
 x^2=\frac{z^2}{2}\\ 
 dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\,dz
 \end{array}\right\vert={}$   
$\displaystyle {}=\int e^{-\frac{z^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\,dz=\frac{1}{\sqrt{2...
...z^2}{2}}dz=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2}}\Phi(z)+C=
 \sqrt{\pi}\Phi(\sqrt{2}x)+C.$   

Заметим, что та первообразная для $ \int e^{-x^2}dx=F(x)+C$ , для которой $ F(0)=0$ , обозначается $ \frac{2}{\sqrt{\pi}}\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ . Функция $ \mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ называется в теории вероятностей и статистике функцией ошибок.     

Производная обратной функции.

Вывод формул производных функций  и .

Теор.6.1. Пусть для f(x): 1. выполняются условия Теор.5.6.5 об обратной функции (непрерывность и строгая монотонность на отрезке [a,b]). 2. в точке х0 существует неравная нулю производная f'(х0). Тогда обратная функция х = g(у) в точке у0= f(х0) также имеет производную, равную .

Док-во. Придадим переменной у приращение Dу¹0. Тогда переменная х получит приращение . Вследствие строгой монотонности Dх¹0; вследствие непрерывности Dх®0ÛDу®0. . Устремим Dу®0, тогда Dх®0 и, по условию теоремы, существует  (предел дроби), т.е. .

Итак, производные взаимно обратных функций связаны соотношением .

Применим эту формулу для вывода производных обратных тригонометрических функций.

8. . Обратная функция   имеет производную . Так как , получим: .

9. Для функции  совершенно аналогично получается .

6.4.

 Из доказанной теоремы сразу следует, что функция, имеющая производную в точке х, непрерывна в этой точке: если Dх®0, то Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх тоже стремится к нулю, т.е. БМ приращению функции соответствует БМ приращение аргумента. Обратное утверждение неверно: функция |x| непрерывна в точке x =0, но не имеет в этой точке производной.

Множества мощности континуум.

Множество мощности континуум несчётно.

Применим метод доказательства от противного. Множество мощности континуум - множество, равномощное множеству точек любого отрезка. Возьмём отрезок [0,1]. Каждой точке хÎ[0,1] сопоставим представление числа х в виде бесконечной десятичной дроби вида х=a0, a1a2a3…..; это представление единственно, если договориться, что в случаях возможной неоднозначности (число 0,5, например, можно представить и в виде 0,5000000…., и в виде 0,4999999….) применяется представление с периодом, равным нулю. Предположим, что множество точек, а следовательно, и множество таких дробей счётно, т.е. они могут быть пронумерованы, в качестве номера используем верхний индекс:


Рациональные функции и их интегрирование