Сопромат
Электротехника
Курсовая
Типовой
Фото
Энергетика
Геометрия
Физика

Лекции

Математика
Искусство
Контрольная

Курс

Примеры
Архитектура
На главную

[an error occurred while processing this directive]

Формула интегрирования по частям

 

 

Найдём интеграл $ \int\ln x\,dx$ .

Здесь разбить подынтегральное выражение $ \ln x\,dx$ на два множителя $ u$ и $ dv$ можно только так: $ u=\ln x$ и $ dv=dx$ . При этом дифференцирование $ u$ приводит к упрощению (то есть к "улучшению", с точки зрения вычисления интеграла): $ du=(\ln x)'dx=\frac{dx}{x}$ , при этом "исчез" логарифм, который можно считать более сложной функцией, чем степень $ x$ . Интегрирование же множителя $ dx$ даёт $ x$ , то есть не сильно "ухудшает" этот множитель. Поэтому оправдано применение интегрирования по частям:

 

$\displaystyle \int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\frac{dx}{x}=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C.$

Следствие всех предыдущих теорем: множество значений непрерывной на отрезке [a,b] функции заполняет весь отрезок [М*, М*]. В дальнейшем величину   будем обозначать просто М, величину  будем обозначать символом m.

Теор.5.6.5 о непрерывности обратной функции. Пусть функция у= f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [m,М] существует обратная функция х = g(у), также монотонно возрастающая (убывающая) на [m,М] и непрерывная.

Док-во. Как доказано выше, множество значений непрерывной функции заполняет весь отрезок [m,М], т.е. для "уÎ[m,М] $! хÎ[a,b], такой что у= f(x). Таким образом, функция х = g(у) определена в каждой точке отрезка [m,М]. Эта функция имеет тоже направление монотонности, что и исходная у= f(x): если, например, f(x) возрастает, то из Þ. Тогда, по смыслу функции х = g(у), из Þ. Эта функция непрерывна по следствию из Теор.5.5.1.

6. Дифференцируемость функций.

6.1. Определение производной функции.

6.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной.

 6.1.1.1. Вычисление скорости неравномерно движущегося тела. Пусть материальная точка неравномерно движется вдоль оси Ох. Известна зависимость пути s(t), пройденного к моменту времени t от времени, требуется найти значение скорости точки в момент t0. Если мы возьмём любое t1¹ t0 и найдём отношение  , то будет получено среднее значение  скорости на отрезке [t0, t1]. Чтобы получить мгновенное значение скорости в момент t0, мы должны устремить t1 к t0, т.е. найти предел , где Dt= t1- t0, Ds= s(t1)- s(t0).

 6.1.1.2. Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции.

 Опр. 6.1.1.2. Касательной к графику функции y=f(x) в точке M0(x0,y0=f(x0)) называется предельное положение секущей M0M1 при M1® M0.

Угловой коэффициент секущей равен . Чтобы получить угловой коэффициент касательной, в этом выражении надо перейти к пределу при M1® M0, или, что тоже самое, при х1® х0. Следовательно, , где . Величины Dх и Dу называются, соответственно, приращением аргумента и функции. Таким образом, при решении этих совершенно разных задач, как и множества других задач науки и техники, требуется находить предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Это приводит к определению основного понятия дифференциального исчисления - понятия производной.

Множества мощности континуум.

Множество мощности континуум несчётно.

Применим метод доказательства от противного. Множество мощности континуум - множество, равномощное множеству точек любого отрезка. Возьмём отрезок [0,1]. Каждой точке хÎ[0,1] сопоставим представление числа х в виде бесконечной десятичной дроби вида х=a0, a1a2a3…..; это представление единственно, если договориться, что в случаях возможной неоднозначности (число 0,5, например, можно представить и в виде 0,5000000…., и в виде 0,4999999….) применяется представление с периодом, равным нулю. Предположим, что множество точек, а следовательно, и множество таких дробей счётно, т.е. они могут быть пронумерованы, в качестве номера используем верхний индекс:


Справочник

Энергосбережение
Информатика
Расчет электроцепи
Атомная энергетика