Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

[an error occurred while processing this directive]

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

 

    Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

 

Выполняя замену $ t=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ , получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}=\left\vert\begin{array}{l}
 t=\mathop{\r...
...c{1}{1+t^2}}=\int\frac{dt}{3t^2+4}=
 \frac{1}{3}\int\frac{dt}{t^2+\frac{4}{3}}=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}t}{...
...{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}+C.$   

Если в том же интеграле сделать универсальную замену, то получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 t=\mathop{...
...\Bigr)^2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}=
 \frac{1}{2}\int\frac{(1+t^2)dt}{t^4+t^2+1}.$   

Получили интеграл от рациональной функции переменного $ t$ . Однако вычисление этого интеграла представляется весьма трудоёмким, поскольку непонятно даже, как искать разложение знаменателя на множители. Так что первая замена оказалась много лучше второй.     

Примеры разрывных функций. Исследование функций на непрерывность.

 Классическими примерами разрывных функций служат функции Дирихле и Римана, определённые в разделе 4.1. Определение функции. Терминология. Функция Дирихле  очевидно имеет разрывы второго рода в каждой точке, так как ни в одной точке не существует ни левого, ни правого пределов (раздел 4.4.1.1. Определение предела функции в точке). Относительно функции Римана

там же было доказано, что эта функция не имеет предела при х ® х0, если х0 рационально (следовательно, каждая рациональная точка - точка разрыва второго рода), и имеет предел, равный нулю, если х0 иррационально (следовательно, каждая иррациональная точка - точка непрерывности).

 Решение задач на исследование элементарных функций на непрерывность обычно не вызывает проблем, если хорошо осмыслены определения предела и непрерывности и наработана техника нахождения пределов. Примеры: Исследовать функции на непрерывность:

1. . , поэтому функция непрерывна во всех точках х¹0. Найдём . При х®-0 1/х® -¥, arctg(1/x)® -p/2; при х®+0 1/х®+¥, arctg(1/x)® p/2, т.е.  не существует, но существуют односторонние пределы, следовательно, точка х=0 - точка разрыва первого рода.

2. . Исследовать на непрерывность надо точку х1=1

и точки, в которых . Решая уравнение 1/(x-1)=2, находим х2=3/2. Пусть х®1-0, тогда х-1® -0, 1/(x-1) ® -¥, ®0, у®1/4. Пусть х®1+0, тогда х-1® +0, 1/(x-1) ® +¥, ®+¥, у®0. Пусть, далее, х®3/2-0, тогда х-1®1/2-0, 1/(x-1) ®2+0 (вследствие убывания функции 1/(x-1)), ®4+0, 4-® -0,

у® -¥. Если х®3/2+0, тогда х-1®1/2+0, 1/(x-1) ®2-0, ®4-0, 4-® +0, у® +¥. Если ещё убедиться, что при х®¥  и учесть монотонность функции на каждом из промежутков (-¥,1), (1, 3/2), (3/2,+¥), то полученной информации вполне достаточно для построения графика этой не самой простой функции. Результат: точка х1=1 - точка разрыва первого рода, точка х2=3/2 - точка разрыва второго рода.

3. . . Эта функция является элементарной функцией, поэтому она непрерывна во всех точках своей области определения. Исследуем точки х=±6. При х®+6 знаменатель стремится к нулю, числитель строго положителен, поэтому конечного предела быть не может, следовательно, это точка разрыва второго рода. При х® -6 получается неопределённость , раскрываем её:   при х® -6. Таким образом, точка х= -6 - точка устранимого разрыва.

Множества мощности континуум.

Множество мощности континуум несчётно.

Применим метод доказательства от противного. Множество мощности континуум - множество, равномощное множеству точек любого отрезка. Возьмём отрезок [0,1]. Каждой точке хÎ[0,1] сопоставим представление числа х в виде бесконечной десятичной дроби вида х=a0, a1a2a3…..; это представление единственно, если договориться, что в случаях возможной неоднозначности (число 0,5, например, можно представить и в виде 0,5000000…., и в виде 0,4999999….) применяется представление с периодом, равным нулю. Предположим, что множество точек, а следовательно, и множество таких дробей счётно, т.е. они могут быть пронумерованы, в качестве номера используем верхний индекс:


Рациональные функции и их интегрирование