Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

[an error occurred while processing this directive]

Формула замены переменного в определённом интеграле

      Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

 

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...rray}{l}
 u=x\\ 
 dv=\cos x\;dx\\ 
 du=dx\\ 
 v=\sin x
 \end{array}\right\vert=$    
$\displaystyle =\underbrace{x\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}}_{{}=\frac{\pi}...
...\sin x\;dx=
 \frac{\pi}{2}+\cos x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1.$    

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов $ -x^2\cos x$ и $ x\sin x$ , а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на $ \frac{\pi}{2}$ , что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.     

 Примеры: найти асимптоты графиков функций

.

Так как , , прямая  - вертикальная асимптота графика этой функции. Для определения наклонных асимптот ищем : . Таким образом, если наклонные асимптоты существуют, то . Находим : . Итак, прямая  - двусторонняя наклонная асимптота. График функции и её асимптоты приведены на рисунке справа.

. Функция определена при , поэтому вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты:

.

Из последнего выражения следует необходимость отдельного рассмотрения случаев   и . При  , поэтому

. При  , . Итак, прямая  - асимптота функции при ; прямая  - асимптота функции при .

8.7. Схема исследования функций и построения графиков.

 Сведём рассмотренные в этом разделе отдельные элементы в один алгоритм, с помощью которого исследуются функции и строятся их графики.

Общий характер функции:

область определения функции и, если это возможно, область её значений;

наличие чётности, периодичности;

нахождение, если это возможно, пересечений графика функции с осями координат и областей её знакопостоянства (граничными точками интервалов знакопостоянства могут быть только концы интервалов области определения, точки разрыва, нули функции);

область непрерывности функции, её разрывы и их характер;

пределы при стремлении к границам области определения (при этом будут получены уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот, если они есть);

наличие наклонных асимптот.

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение -   или ).

Согласно этому определению, каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение   или . Если одновременно  и ,


Рациональные функции и их интегрирование