Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции http://company-opt.ru/ от поставщика радиоприемники оптом. ; ????? ???? Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

[an error occurred while processing this directive]

Вычисление длины плоской линии

 

Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости $ xOy$ параметрическими уравнениями $\displaystyle x=a(t-\sin t);\ y=a(1-\cos t)\quad (a>0),$

лежащей между точками $ O(0;0)$ (соответствует $ t=0$ ) и $ A(2\pi a;0)$ (соответствует $ t=2\pi$ ).

Рис.6.17.



Для функций $ f_1(t)=a(t-\sin t)$ и $ f_2(t)=a(1-\cos t)$ вычислим производные:

 

$\displaystyle f'_1(t)=a(1-\cos t);\ f_2'(t)=a\sin t.$

Тогда искомая длина дуги равна

 

$\displaystyle l=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t}\;dt=
2a\int_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}=8a.$

 Опр.8.5.3.1. Точка  называется критической точкой второго рода, если 1.   непрерывна в некоторой окрестности ; 2. существует (конечная или бесконечная) производная функции  в точке ; 3.  дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки ; 4. вторая производная этой функции в точке  равна нулю или не существует.

 8.5.4. Достаточное условие точки перегиба. Теорема. Пусть   - критическая точка второго рода функции  и пусть функция имеет вторую производную в некоторой проколотой окрестности  этой точки. Тогда если в пределах этой окрестности   имеет разные знаки по разные стороны от точки , то график функции имеет перегиб в точке .

 Док-во непосредственно следует из определения точки перегиба: так как вторая производная функции имеет разные знаки по разные стороны от точки , график функции имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки , т.е. это точка перегиба.

 Как пример полученных правил определения участков выпуклости и точек перегиба продолжим исследование первой из функций, рассмотренных в разделе 8.4: для функции  мы получили . Находим вторую производную:

Решая уравнение , находим критические точки второго рода: , ; ; третья критическая точка - .

Как и при исследовании функции на монотонность и точки экстремума, составим таблицу

 -

 0

 +

 0

 -

 0

 +

 точка перегиба

 точка

перегиба

точка перегиба

Результаты изображены на графике справа.

 Может, однако, оказаться, что в точке  равны нулю и первая, и вторая, и ещё ряд производных. Обобщим правило раздела 8.4.3. Третий достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по старшим производным): пусть функция  имеет в точке  все производные вплоть до n-го порядка, причём  . Тогда, если n (порядок первой отличной от нуля производной) нечётно, то  - точка перегиба графика функции ; если n чётно, то при   - точка минимума, при   - точка максимума.

 Док-во этого правила дать самостоятельно, доработав доказательство раздела 8.4.3.

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение -   или ).

Согласно этому определению, каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение   или . Если одновременно  и ,


Рациональные функции и их интегрирование