Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

[an error occurred while processing this directive]

Интегралы - Примеры и задачи

 

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Рис.6.27.



Для вычисления объёма тела вращения применим формулу

 

$\displaystyle V=\pi\int_a^b(f(x))^2\;dx.$

Имеем:

$\displaystyle V=\pi\int_0^4(4x-x^2)^2\;dx=
 \pi\int_0^4(16x^2-8x^3+x^4)\;dx=
 \...
...gl(16\cdot\frac{x^3}{3}-8\cdot\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}\bigr)\Bigr\vert _0^4=$   
$\displaystyle =\pi\bigl(\frac{16}{3}\cdot4^3-2\cdot4^4+\frac{1}{5}\cdot4^5\bigr...
...gr)=
 1024\pi\bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\bigr)=\frac{512\pi}{15}.$   

Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. Если в окрестности   точки x0 существуют все производные функции f(x) до n+1-го порядка, можно получить другое представление остаточного члена: , где , точка с расположена между x и x0. Это представление остаточного члена называется формой Лагранжа.

Докажем это утверждение. Заметим, что . Вместе с функцией Rn(x) рассмотрим функцию . Эта функция, как и Rn(x), имеет в точке x0 n равных нулю производных: , а . К паре функций Rn(x),  на отрезке  применим теорему Коши: , где точка  расположена между x и x0. Далее к паре функций R'n(x),  на отрезке  снова применим теорему Коши: , где точка  расположена между x и . Продолжим этот процесс для R"n(x), , R'''n(x),  и т.д., окончательно получим: . Итак, , откуда  (мы переобозначили ), что и требовалось доказать.

Число с удобно записать в виде , где , тогда .

Итак, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

Частный случай формулы Тейлора в случае x0 = 0 принято называть формулой Маклорена. Так, формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа такова:

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение -   или ).

Согласно этому определению, каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение   или . Если одновременно  и ,


Рациональные функции и их интегрирование