Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

К настоящему времени известны четыре вида основных фундаментальных взаимодействий: гравитационное; электромагнитное; сильное; слабое. Между двумя точечными телами действует сила притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Предполагается, что гравитационное взаимодействие обуславливается некими элементарными частицами — гравитонами, существование которых к настоящему времени экспериментально не подтверждено.

Найдём определённый интеграл

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

 

Поскольку
$\displaystyle \int\cos x\;dx=\sin x+C,$

в качестве первообразной $ F(x)$ можно взять $ \sin x$ (положив $ C=0$ ). Поэтому

 

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx=\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{3}}=
\sin\frac{\pi}{3}-\sin 0=\frac{\sqrt{3}}{2}-0=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Гиперболические функции.

4.2.1. Определение гиперболических функций.

 Опр. 4.2.1. Гиперболическими называются функции

   - синус гиперболический;  - косинус гиперболический;

 - тангенс гиперболический;

 - котангенс гиперболический.

Графики гиперболических функций:


4.2.2. Соотношения между гиперболическими функциями.

  Исходя из определения гиперболических функций можно получить различные соотношения между этими функциями, схожие с соответствующими соотношениями между тригонометрическими функциями, или, в некоторых случаях, отличающиеся знаком перед некоторыми слагаемыми. Так, прямой подстановкой проверяется равенство  (основное гиперболическое тождество, играющее в теории гиперболических функций ту же роль, какую в тригонометрии играет основное тригонометрическое тождество ).

Прямой проверкой или из основного гиперболического тождества можно получить аналог любой тригонометрической формулы, например

  sh 2x = 2 shx chx

и т.д. Получать эти соотношения можно также руководствуясь мнемоническим правилом (оно доказывается в комплексном анализе): вместо cos x пишется ch x, а вместо sin x пишется ish x, где i - мнимая единица ( i= i= -1).

Элементы математической логики.

Высказывания и действия над ними.

Утверждение, относительно которого известно, истинно оно или ложно, будем называть высказыванием.

 Примеры: (A) число 6 больше числа 2; (B) число 6 меньше или равно числу 2; (C) Волга впадает в Каспийское море; (D) Путин - наш президент; (Е) чтобы хорошо жить, надо хорошо учиться.


Рациональные функции и их интегрирование