Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

Фотон (гамма-квант) - квант электромагнитного поля, имеет спин единицу. Фотоны подчиняются статистике Бозе, т.е. в одном квантовом состоянии может находиться любое число фотонов. Сечение рассеяния фотонов с энергиями 1 ГэВ на протоне составляет 10-30 см2,

Интегралы - О "неберущихся" интегралах

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

Заметим, что $ (\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x))'=\frac{\textstyle{e^x}}{\textstyle{x}}$ по определению первообразной. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

$\displaystyle \int\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)\,dx=
 \left\vert\begin{arra...
...imits (x)\\ 
 dv=dx\\ 
 du=\frac{e^x}{x}\,dx\\ 
 v=x
 \end{array}\right\vert={}$ $\displaystyle {}=x\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)-\int x\cdot\frac{e^x}{x}\,d...
...thrm{Ei}}\nolimits (x)-\int e^x\,dx=
 x\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)-e^x+C.$


    

Кроме приведённых выше, в приложениях встречаются и многие другие неберущиеся интегралы, например:

 

$\displaystyle \int\sin\frac{\pi x^2}{2}dx=\mathcal{S}(x)+C;\ %
\int\cos\frac{\...
...}(x)+C;\ %
\int\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx;\ %
\int\frac{\cos x}{\sqrt{x}}dx.
$

Теоремы об оценке интеграла.

5.1. Если на отрезке  функция удовлетворяет неравенству , то .

 Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.

5.2. Если функция  интегрируема по отрезку , то .

Док-во. .

 6. Теорема о среднем. Если  непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что .

Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее  и наибольшее  значения. Тогда . Число  заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между  и . Таким образом, существует точка , такая что .

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если   непрерывна на отрезке , то существует точка  такая, что площадь криволинейной трапеции  равна площади прямоугольника с основанием  и высотой (на рисунке выделен цветом).

Элементы теории множеств.

Множества, подмножества, элементы множества.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. Этот термин употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить (а) о множестве пчёл в улье, (б) о множестве точек отрезка, (в) о множестве вершин квадрата или (г) о множествах его сторон и (д) диагоналей, (е) о множестве студентов в аудитории и т.д. В приведённых примерах в случаях (а), (в)-(е) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример (б)) пересчитать невозможно, такие множества называются бесконечными. Наконец, множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.


Рациональные функции и их интегрирование