Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

Фотон (гамма-квант) - квант электромагнитного поля, имеет спин единицу. Фотоны подчиняются статистике Бозе, т.е. в одном квантовом состоянии может находиться любое число фотонов. Сечение рассеяния фотонов с энергиями 1 ГэВ на протоне составляет 10-30 см2,

Найдём стационарные точки функции

      Найдём стационарные точки функции $\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$

 

заданной на всей плоскости $ xOy$ .

Частные производные функции $ f$ равны

 

$\displaystyle f'_x(x;y)=2x+y-4;\ f'_y(x;y)=x+2y-2.$

В стационарной точке обе эти производные равны 0. Приравнивая полученные выражения к 0, получаем систему линейных уравнений:

 

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
2x+y-4=0;\\
x+2y-2=0.
\end{array}\right.$

Эта система имеет единственное решение: умножая первое уравнение на 2 и вычитая из него второе, получаем $ 3x-6=0$ , откуда $ x=3$ и $ y=0$ . Значит, $ (x_0;y_0)=(3;0)$  -- единственная стационарная точка функции $ f$

Аддитивность. Если  интегрируема по отрезку  и точка  принадлежит этому отрезку, то .

Док-во. Если  удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку , то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам  и . Будем брать такие разбиения отрезка , чтобы точка  являлась одним из узлов : . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для .Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .

Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, , и  интегрируема по . Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .

 При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что .

 3. Интеграл от единичной функции (). Если , то .

Док-во. Если , то для любого разбиения

, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение.

 4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке   выполняется неравенство , и функции  ,  интегрируемы по отрезку , то .

Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  при  . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.

Элементы теории множеств.

Множества, подмножества, элементы множества.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. Этот термин употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить (а) о множестве пчёл в улье, (б) о множестве точек отрезка, (в) о множестве вершин квадрата или (г) о множествах его сторон и (д) диагоналей, (е) о множестве студентов в аудитории и т.д. В приведённых примерах в случаях (а), (в)-(е) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример (б)) пересчитать невозможно, такие множества называются бесконечными. Наконец, множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.


Рациональные функции и их интегрирование