Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

Фотон (гамма-квант) - квант электромагнитного поля, имеет спин единицу. Фотоны подчиняются статистике Бозе, т.е. в одном квантовом состоянии может находиться любое число фотонов. Сечение рассеяния фотонов с энергиями 1 ГэВ на протоне составляет 10-30 см2,

Вычислим интеграл

    Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$

 

Для этого выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

 

$\displaystyle x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1.$

Затем сделаем замену $ z=x+2$ :

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 z=x+1\\...
...
 x=0\Ra z=1\\ 
 x=1\Ra z=2
 \end{array}\right\vert=
 \int_1^2\frac{dz}{z^2+1}=$   
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits z\Bigr\vert _1^2=\mathop{\rm arctg}\n...
...ts 2-\mathop{\rm arctg}\nolimits 1=\mathop{\rm arctg}\nolimits 2-\frac{\pi}{4}.$   

Ответ: $ \int\limits_0^1\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{x^2+4x+5}}=\mathop{\rm arctg}\nolimits 2-\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{4}}$

Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора. В разделе 6.8.4 Применение дифференциала в приближённых вычислениях мы пользовались выражением у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх, которое, как теперь очевидно, содержит два первых члена формулы Тейлора. Формула Тейлора обобщает это выражение; она позволяет проводить более точные вычисления и оценивать точность этих вычислений. Рассмотрим следующий пример: требуется вычислить sin1 с погрешностью, не превышающей 0,00001. Остаточный член в форме Лагранжа для функции  имеет вид, следовательно . Подбором находим, что , следовательно, мы должны взять степени х вплоть до седьмой:

 

8. Исследование функций и построение их графиков.

8.1. Условие постоянства функции.

 Теор.8.1. Пусть функцияимеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была постоянной на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) постоянная на , то  для .

Достаточность. Пусть  для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. значения функции в двух любых точках интервала совпадают, следовательно, .

8.2. Условия монотонности функции.

Теор.8.2.1. Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была монотонно возрастающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для . Для того, чтобы функция  была монотонно убывающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для .

 Док-во. Необходимость. Если  f(x) монотонно возрастает, то для любых , при  выполняется .

Достаточность. Пусть  для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е.  монотонно возрастает на .

 Случай монотонного убывания рассматривается аналогично.

 В случае, рассмотренном в Теор.8.2.1, мы не исключаем для функции   возможность оставаться постоянной на некотором подынтервале  ( и, как следствие, для её производной быть равной нулю на этом подынтервале). Если эту возможность исключить, получим условия строгой монотонности функции на интервале:

Теор.8.2.2. Условие строгого возрастания функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция строго возрастала на интервале , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

 для ;

  не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала.

Док-во. Необходимость. Если f(x) строго возрастает, то, по теор.8.2.1   для ; при этом  не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала, так как в этом случае по теор.8.1  была бы постоянной на этом подынтервале, что противоречит условию строгого возрастания.

Достаточность. Если выполняются условия теоремы, то, по теор.8.2.1, f(x) не убывает. Предположим, что для двух точек и  интервала значения функции равны: . Тогда, вследствие неубывания f(x), для  , т.е.  постоянна на  на этом интервале, что противоречит второму условию теоремы.

  Случай строгого убывания рассматривается аналогично.

Элементы теории множеств.

Множества, подмножества, элементы множества.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. Этот термин употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить (а) о множестве пчёл в улье, (б) о множестве точек отрезка, (в) о множестве вершин квадрата или (г) о множествах его сторон и (д) диагоналей, (е) о множестве студентов в аудитории и т.д. В приведённых примерах в случаях (а), (в)-(е) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример (б)) пересчитать невозможно, такие множества называются бесконечными. Наконец, множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.


Рациональные функции и их интегрирование