Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

Фотон (гамма-квант) - квант электромагнитного поля, имеет спин единицу. Фотоны подчиняются статистике Бозе, т.е. в одном квантовом состоянии может находиться любое число фотонов. Сечение рассеяния фотонов с энергиями 1 ГэВ на протоне составляет 10-30 см2,

Интегралы от произведений синусов и косинусов

 
Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$

 

Преобразуем произведение $ \cos5x\sin7x$ в сумму:

 

$\displaystyle \cos5x\sin7x=
\frac{1}{2}\bigl(\sin(7x-5x)+\sin(7x+5x)\bigr)=
\frac{1}{2}\bigl(\sin2x+\sin12x\bigr).
$

Тогда

$\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx=
 \frac{1}{2}\int\bigl(\sin2x+\sin12x\bigr)dx=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2}\bigl(-\frac{\cos2x}{2}-\frac{\cos12x}{12}\bigr)+C=
 -\frac{\cos2x}{4}-\frac{\cos12x}{24}+C.$   

Как следует из определений разделов 4.4.8-4.4.11, утверждения "при х®а 1. f(x)~g(x); 2. f(x)-g(x)=o(g(x)) =o(f(x)); 3. g(x) есть главная часть f(x)" эквивалентны. Так как для f(x) может существовать бесконечно много главных частей при х®а (например, при х®0 ~~~ ~~~ …..), при выделении главных частей указывается их вид; при решении задач на вычисление пределов при х®а обычно это С0(х-а)k для бесконечно малых и  для бесконечно больших, при х®¥ - это  для бесконечно малых и  для бесконечно больших, где С0 = const¹0, k =const>0 – порядок малости или роста функции f(x) относительно функции (х-а) (или относительно   при х®¥). Для главных частей такого вида бесконечно малых при х®а функций равносильны следующие утверждения:

1. ;

2. , где a(х) – БМ при х®а;

3. ;

4. , где ;

f(x) ~ .

Таким образом, в простейших случаях рецепт для выделения главной части вида С0(х-а)k БМ при х®а функции f(x) состоит в следующем: f(x) надо представить в виде f(x)=, где . Тогда , и  - главная часть функции f(x) при х®а.

 Аналогично изложенному выше, с заменой (х-а)k на , формулируются утверждения и правило для выделения главной части функции, бесконечно малой при х®¥.

Рассмотрим ряд примеров на выделение главной части и определение порядка малости функций (в скобках указываются применённые формулы табл. 4.4.10):

1. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому  , k=1 – порядок малости f(x) при х®0.

2. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому  , k=2 – порядок малости f(x) при х®¥ по сравнению с .

3. . С помощью формул 4,6 таблицы 4.4.10 представим f(x) в виде . Здесь , , поэтому  , k=1 – порядок малости f(x) при х®0.

4. . Так как f(-2) = 0, то , и многочлен  делится на х + 2 без остатка. Произведя деление, получим . Так как и f1(-2) = 0, то , поэтому , где . Результат: ,  - главная часть f(x), k=2 – порядок малости f(x) при х®-2.

5. . ~, где . Поэтому ,  - главная часть , k=5/6 (относительно БМ ) при .

В следующих задачах решение излагается более кратко.

6.

7. .

8. .

9.

  Неаккуратность при решении последнего примера даст результат

  верный, но бесполезный.

10. Пусть х ®+0. Тогда

 

 Если рассматривается случай х®а ¹ 0, часто полезно сделать замену переменной у= х-а.

Элементы теории множеств.

Множества, подмножества, элементы множества.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. Этот термин употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить (а) о множестве пчёл в улье, (б) о множестве точек отрезка, (в) о множестве вершин квадрата или (г) о множествах его сторон и (д) диагоналей, (е) о множестве студентов в аудитории и т.д. В приведённых примерах в случаях (а), (в)-(е) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример (б)) пересчитать невозможно, такие множества называются бесконечными. Наконец, множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.


Рациональные функции и их интегрирование