Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

Фотон (гамма-квант) - квант электромагнитного поля, имеет спин единицу. Фотоны подчиняются статистике Бозе, т.е. в одном квантовом состоянии может находиться любое число фотонов. Сечение рассеяния фотонов с энергиями 1 ГэВ на протоне составляет 10-30 см2,

Площадь области, лежащей между двумя графиками

 Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками $ y=x^2$ и $ y=\sqrt{x}$ . Эти графики имеют две общих точки $ (0;0)$ и $ (1;1)$ (см. рис.), причём на отрезке $ [0;1]$ график $ y=\sqrt{x}$ идёт выше, чем график $ y=x^2$ .

Рис.6.2.



Значит, площадь области $ \mathcal{D}$ между графиками равна

 

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\;dx=
\frac{2}{3}x\sqrt{x}...
...\vert _0^1-\frac{1}{3}x^3\Bigr\vert _0^1=
\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

 Здесь мы с помощью рассмотренных в 4.4.7 пределов составим таблицу эквивалентных БМ функций и выпишем следующие из них выражения для главных частей (они подчёркнуты).

Эквивалентность при х®0

Главная часть при х®0

1. sin x ~ x

1. sin x = x+o(x)

2. 1 - cos x ~ x2/2

2. 1 - cos x = x2/2+o(x2)Þcos x = 1- x2/2+o(x2)

3. tg x ~ x

3. tg x = x+o(x)

4. arcsin x ~ x

4. arcsin x = x+o(x)

5. arctg x ~ x

5. arctg x = x+o(x)

6. ax-1 ~ x ln a; ex-1 ~ x

6. ax–1 = x ln a+o(x)Þ ax = 1+ x ln a+o(x)

 ex –1 = x+o(x) )Þ ex = 1+ x +o(x)

7. loga (1+x) ~ x logae; ln(1+x) ~ x

7. loga (1+x) = x logae+o(x); ln(1+x) = x+o(x)

8. (1+x)a-1 ~ a x

8. (1+x)a - 1 = a x+o(x)Þ (1+x)a=1 + a x+o(x)

9. sh x ~ x

9. sh x = x+o(x)

10. ch x - 1 ~ x2/2

10. ch x - 1= x2/2+o(x2)Þ ch x = 1 + x2/2+o(x2)

4.4.11. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций и связь с бесконечно малыми функциями.

В разделе 4.4.3 мы определили функции ББ, положительные ББ, отрицательные ББ и ввели обозначения : , , . Напомним одно из них.

Опр.4.4.8. f(x)®¥ при х®а (х®а+0, х®а-0, х®¥, х®+¥,  х®-¥) Û Û.

Теор. 4.4.11.1 о связи ББ и БМ функций. Пусть функции F(x) и j(x) связаны соотношением F(x)=. F(x) - ББ тогда и только тогда, когда j(x) -БМ.

 Док-во. Необходимость. Пусть F(x) - ББ, докажем, что   - БМ. Возьмём "e>0. По определению ББ, для М=1/e $d: 0<| x-a |<dÞ| F(x) |> М. Тогда , т.е. j(x) удовлетворяет определению БМ.

 Достаточность доказывается аналогично необходимости.

Итак, связь между ББ и БМ функциями достаточно простая. Поэтому кратко перечислим факты, относящиеся к сравнению ББ функций и аналогичные определениям и теоремам для БМ.

Опр. 4.4.11.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F(х) и G(х) называются бесконечно большими одного порядка роста при х®а.

Опр. 4.4.11.2. Если =0, то ББ G(х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F(х) (F(х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G(х)). Обозначение: F(x) = o(G(x)).

Опр. 4.4.11.3. Если =1, то ББ G(х) и F(х) называются эквивалентными.

Теор. 4.4.11.2. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F(х) и G(х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F(х) - G(х) = о(F(х)) (или F(х) - G(х) = о(G(х)).

Элементы теории множеств.

Множества, подмножества, элементы множества.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. Этот термин употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить (а) о множестве пчёл в улье, (б) о множестве точек отрезка, (в) о множестве вершин квадрата или (г) о множествах его сторон и (д) диагоналей, (е) о множестве студентов в аудитории и т.д. В приведённых примерах в случаях (а), (в)-(е) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример (б)) пересчитать невозможно, такие множества называются бесконечными. Наконец, множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.


Рациональные функции и их интегрирование