Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

Микромир - мир микроскопических частиц, для которых характерны пре­имущественно квантовые свойства. Поведение и свойства физиче­ских тел, состоящих из микрочастиц и составляющих макромир, описываются классической физикой. Пространственные масштабы нашей Вселенной и размеры основных материальных образований, в том числе и микро­объектов, можно представить из следующей таблицы, где размеры даны в метрах (для простоты приведены лишь по­рядки чисел, т. е. приближенные числа в пределах одного порядка):

Определение градиента и стационарных точек функции

 

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ . Поскольку

 

$\displaystyle f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4;\ f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3,$

то

 

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x)=(2x_1+3x_2-4;3x_1+4x_2+3),$

а стационарные точки задаются системой уравнений

 

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4=0;\\
f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3=0.
\end{array}\right.$

Решая эту систему из двух линейных уравнений, находим единственное решение:

 

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
x_1=18;\\
x_2=-25.
\end{array}\right.$

Значит, $ x^0=(18;-25)$  -- единственная стационарная точка этой функции.     

Перечислим ряд очевидных свойств введённых отношений (обязательно осмыслить!).

4.4.8.1. Если f(x)~g(x), то g(x)~f(x).

4.4.8.2. Если f(x)~g(x), g(x)~h(x), то f(x)~h(x).

4.4.8.3. Если f(x)~g(x), h(x)~s(x), то f(x)h(x)~g(x)s(x).

4.4.8.4. Если , то f(x)~L.

4.4.8.5. Если f(x)=o(g(x)), то f(x)=O(g(x)).

4.4.8.6. Если f(x)~g(x), то o(f(x))=o(g(x)).

4.4.8.7. O(O(f(x)))= O(f(x)); O(o(f(x)))= o(O(f(x)))= o(f(x)); o(o(f(x)))= o(f(x)).

4.4.8.8. g(x)(O(f(x)))= O(g(x)f(x)); g(x)(o(f(x)))= o(g(x)f(x)).

4.4.8.9. O(f(x)) O(f(x))= O(f 2(x)); O(f(x)) o(f(x))= o(f 2(x)); o(f(x)) o(f(x))= o(f 2(x)).

4.4.8.10. O(f(x))+O(f(x))= O(f(x)); O(f(x))+o(f(x))= O(f(x)); o(f(x))+o(f(x))= o(f(x)).

4.4.8.11. Из этих свойств и теоремы 4.4.10.2 о пределе разности функций следует:

f(x)~g(x)Û f(x)-g(x)=о(f(x)); f(x)~g(x)Û f(x)-g(x)=о(g(x)).

Условие f(x)~g(x)Û f(x)-g(x)=о(g(x)) можно записать так: f(x)~g(x)Û f(x)=g(x)+о(g(x)).

 Опр. 4.4.8.6. Если функцию f(x) можно представить в виде f(x)=g(x)+о(g(x)), то функция g(x) называется главной частью функции f(x).

4.4.9. Сравнение бесконечно малых функций.

 В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при х®а произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть a(х)®0, b(х)®0 при х®а и пусть $.

Опр. 4.4.9.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Опр. 4.4.9.2. Если =0, то БМ a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с b(х) (b(х) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению с a(х)). Обозначение: a(х) = о(a(х)).

Опр. 4.4.9.3. Если =1, то БМ a(х) и b(х) называются эквивалентными. Обозначение: a(х)~b(х); если a(х)~b(х), то b(х)~a(х).

Эквивалентные БМ интенсивно используются и в теории, и при решении задач, поэтому докажем два утверждения об этих величинах.

Теор. 4.4.9.1. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Док-во. Необходимость. a(х)~b(х)Û=1Û0Û . Достаточность. ÛÛ =1.

Теор. 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные.

Пусть a(х)~ a1(х), b(х)~b1(х) - БМ функции. Тогда .

 Док-во.

.

Опр. 4.4.9.4. Если  при некотором k>0, то БМ a(х) называется БМ

k-го порядка малости по сравнению с b(х).

Если a(х) - БМ к-го порядка по сравнению с b(х), то a(х)~C[b(х)]kÞa(х)=C[b(х)]k+o(a(x)), т.е. функция C[b(х)]k - главная часть функции a(х). В этом случае также a(х)=C[b(х)]k+o([b(х)]k).

 При решении задач часто применяется следующее очевидное

 Утверждение. Сумма конечного числа БМ функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Многочлены -ой степени.

 9.2.1. Многочлены с комплексными коэффициентами от комплексной переменной. Многочленом -ой степени называется функция  где  - постоянные комплексные числа (коэффициенты многочлена), ,  - комплексная переменная. Число , в котором многочлен принимает нулевое значение (), называется корнем многочлена.

 Справедлива следующая теорема, которая называется основной теоремой алгебры: любой многочлен степени  имеет комплексный корень.

Пусть   - произвольная точка комплексной плоскости. Представим  в виде многочлена по степеням  (как мы делали это в разделе 7.7.1. Формула Тейлора для многочленов):

. Здесь  - новые значения коэффициентов, получающиеся после раскрытия степеней и приведения подобных членов. Очевидно, , отсюда следует утверждение: для того, чтобы число  было корнем многочлена , необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при нулевой степени в разложении  по степеням  был равен нулю: . Но тогда

.

  Таким образом, доказана теорема Безу: для того, чтобы многочлен -ой степени  имел комплексный корень , необходимо и достаточно, чтобы он без остатка делился на , т.е. чтобы  представлялся в виде , где  - многочлен -1-ой степени.

 Пусть  - корень многочлена , тогда, по теореме Безу, . Возможны два варианта: 1. Число  не является корнем многочлена , в этом случае  называется простым корнем многочлена . 2. Число  является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим , . Применяя к  те же рассуждения, придём к выводу: если  - корень многочлена , то  единственным образом представляется в виде , где . Число  в этом случае называется кратностью корня .

 Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен  при  имеет хотя бы один корень ; если кратность этого корня равна , то, согласно изложенному,   представляется в виде , где . Если , то многочлен  имеет корень , и представляется в виде . Если , эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен  степени  

при старшем коэффициенте  единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде , где  - (попарно различные) корни многочлена,  - их кратности,- количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна : .

 9.2.2. Многочлены с действительными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим многочлен  от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты - действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.

1.Если   - число, сопряжённое к числу , то . Док-во: Для любого действительного числа  операция сопряжения не меняет это число: , поэтому 

(см. сформулированные в разделе 9. Комплексные числа свойства операции сопряжения). 

 2. Если - корень многочлена , то  - тоже корень этого многочлена. Док-во: если , то .

 3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то  без остатка делится на квадратный трёхчлен , где . Док-во: так как числа  - корни , то  представляется в виде  .

 4. Если - корень многочлена  кратности , то  - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.

 5. Любой многочлен -ой степени  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где

 - попарно различные действительные корни этого многочлена,  - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней  кратностей )  с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.

Математические теоремы, их виды и логическая структура.

Теоремы прямая, обратная, противоположная.

 Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р1, Р2, Р3, …}- множество точек плоскости.


Рациональные функции и их интегрирование