Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Закупка комплектующих для металлопластикового водопровода. Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

Микромир - мир микроскопических частиц, для которых характерны пре­имущественно квантовые свойства. Поведение и свойства физиче­ских тел, состоящих из микрочастиц и составляющих макромир, описываются классической физикой. Пространственные масштабы нашей Вселенной и размеры основных материальных образований, в том числе и микро­объектов, можно представить из следующей таблицы, где размеры даны в метрах (для простоты приведены лишь по­рядки чисел, т. е. приближенные числа в пределах одного порядка):

Формула интегрирования по частям неопределёный интеграл

 

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям. Положим $ u=x$ и $ dv=e^x\,dx$ . Тогда $ du=dx$ и $ v=e^x$ . Значит,

 

$\displaystyle \int e^xx\,dx=\left\vert\begin{array}{l}
u=x\\
dv=e^xdx\\ du=dx\\ v=e^x
\end{array}\right\vert=
xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C.$

(Между вертикальными линиями записывается комментарий, как и в случае применения замены переменных и других вычислений с интегралами. Содержимое комментария не является частью формулы и записывается для удобства. В принципе, писать этот комментарий не обязательно, хотя и очень полезно.)

Здесь интеграл, получившийся в правой части при применении интегрирования по частям, является табличным, то есть он оказался проще исходного, что и привело нас к успеху в вычислении.     

Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(х0), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости d-окрестности 0<|х- х0 |.

Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим Dх=х - х0, эту величину будем называть приращением аргумента. Так как х ® х0, то Dх®0, т.е. Dх - БМ величина. Обозначим Dу = f(x) - f(х0), эту величину будем называть приращением функции, так как |Dу| должно быть (при достаточно малых |Dх|) меньше произвольного числа e>0, то Dу - тоже БМ величина, поэтому


Опр.5.1.3. Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Ещё одно равносильное определение на языке последовательностей:

Опр.5.1.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности  точек области определения, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции  сходится к f(х0):

.

Опр.5.1.5. Функция f(x) не являющаяся непрерывной в точке х0, называется разрывной в этой точке.

Опр.5.1.6. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Комплексные числа. Многочлены. Рациональные функции.

Комплексные числа.

 9.1.1. Определениё комплексного числа.

Опр.9.1.1. Комплексным числом  будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

 Первая компонента комплексного числа , действительное число , называется действительной частью числа , это обозначается так: ; вторая компонента, действительное число , называется мнимой частью числа : .

 Опр.9.1.2. Два комплексных числа  и  равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

 Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

  Геометрически комплексное число  изображается как точка с координатами  на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Опр.9.1.3. Суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. , .

 Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Опр.9.1.4. Произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. .

 Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью  и  получим , , т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом , равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что . Теперь действительные числа - подмножество множества комплексных чисел . Далее, числа с нулевой действительной частью, т.е. числа вида , называются мнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как : ; квадрат этого числа, по определению умножения, равен , что обосновывает данное в опр.9.1.1 свойство "мнимой единицы". 

Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел   имеет свойства, аналогичным аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):

I.1. ;

I.2.   ;

I.3. Существует такой элемент , что  для . Этот элемент - число .

I.4. Для каждого элемента  существует такой элемент , что . Этот элемент - число . Сумма чисел  и  называется разностью чисел  и : .

Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.

Опр.9.1.5. Число  называется числом, сопряжённым к числу . Часто сопряжённое число обозначается также символом .

Опр.9.1.6. Действительное число  называется модулем комплексного числа .

Найдём произведение сопряжённых чисел:  . Таким образом,  - всегда неотрицательное действительное число, причём .

Для нахождения частного комплексных чисел  домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .

 Для операции умножения справедливы свойства

II.1. ;

II.2. ;

II.3. Произведение числа  на любое число  равно ;

II.4. Для каждого числа  существует такое число , что , ;

Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:

III.1. .

  Операция сопряжения имеет следующие свойства:

IV. .

Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть , . Тогда ;  ; .

Математические теоремы, их виды и логическая структура.

Теоремы прямая, обратная, противоположная.

 Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р1, Р2, Р3, …}- множество точек плоскости.


Рациональные функции и их интегрирование