Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

Микромир - мир микроскопических частиц, для которых характерны пре­имущественно квантовые свойства. Поведение и свойства физиче­ских тел, состоящих из микрочастиц и составляющих макромир, описываются классической физикой. Пространственные масштабы нашей Вселенной и размеры основных материальных образований, в том числе и микро­объектов, можно представить из следующей таблицы, где размеры даны в метрах (для простоты приведены лишь по­рядки чисел, т. е. приближенные числа в пределах одного порядка):

Интегралы - О "неберущихся" интегралах

Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

 

Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили $ \sqrt{2\pi}\Phi(x)$ , выделяется из всего набора первообразных условием $ \Phi(0)=0$ . Функция $ \Phi(x)$ называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала. Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.     

Пример:

11. Пусть х®2. Найти главную часть БМ функции   (убедитесь, что f(x) ®0 при х®2). Перейдём к переменной у= х-2Þ х= у+2; у®0 при х®2. Меняем в функции х на у+2:

Так как у®0, мы пришли к задаче, рассмотренной в примере 2. Ответ: ,  при х®2.

12. Для функции, представляющей собой линейную комбинацию степенных выражений   легко показать, что при х®0 f(x) эквивалентна своему слагаемому с минимальной степенью: f(x)~:  и все слагаемые, кроме последнего, стремятся к нулю при х®0, так как  при i=1,2,…,k-1.

При х®¥ f(x) эквивалентна своему слагаемому с максимальной степенью f(x)~:  и все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю при х®¥, так как  при i=2,…,k.

4.5.3. . Пример:  .

б). Дробно-иррациональные функции (.f(х) зависит от выражений вида ). Множитель (х-а) в этом случае выделяется применением формул сокращённого умножения:    и т.д.

в). Пределы от функций, в которых участвуют тригонометрические выражения, обычно сводятся к первому замечательному пределу:

 4.5.3.2. Неопределённость  формально легко сводится к неопределённости : пусть f(x)®¥, g(x)®0 при х®а. Тогда  и получена неопределённость  (представление  даст неопределённость , см. ниже). Однако часто можно обойтись более простыми преобразованиями:  4.5.3.3. Неопределённость  также легко сводится к неопределённости : пусть f(x)®¥, g(x)®¥ при х®а. Тогда  и получена неопределённость . И здесь обычно обходятся более простыми преобразованиями, например, делением числителя и знаменателя на максимальную степень х (приём, применённый также в примере 7 раздела 4.5.2. Выделение главной части функции): , так как   при х®+¥,  при х®¥ ( теор.4.4.7 о произведении БМ на ограниченную функцию).

Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

,

функция  непрерывна на отрезке .

Тогда .

Док-во. Пусть  - первообразная для функции , т.е. , тогда  - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

 При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:

.

Математические теоремы, их виды и логическая структура.

Теоремы прямая, обратная, противоположная.

 Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р1, Р2, Р3, …}- множество точек плоскости.


Рациональные функции и их интегрирование