Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём частные производные функции Вычислим интеграл Свойства градиента и производной Найдём определённый интеграл

Микромир - мир микроскопических частиц, для которых характерны пре­имущественно квантовые свойства. Поведение и свойства физиче­ских тел, состоящих из микрочастиц и составляющих макромир, описываются классической физикой. Пространственные масштабы нашей Вселенной и размеры основных материальных образований, в том числе и микро­объектов, можно представить из следующей таблицы, где размеры даны в метрах (для простоты приведены лишь по­рядки чисел, т. е. приближенные числа в пределах одного порядка):

Интегралы Примеры и задачи

Вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

 

Применяя формулу Ньютона - Лейбница на отрезке между 1 и $ x$ , получаем:

 

$\displaystyle F(x)=\ln t\Bigr\vert _1^x=\ln x-\ln1=\ln x.$

Согласно геометрическому смыслу интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции, получаем, что $ \ln x$  -- это площадь заштрихованной области под ветвью гиперболы $ y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x}}$ (см. рис.):

Рис.3.6.

     

 4.3.2.8. Если последовательность  сходится, то сходится последовательность , и

(постоянный множитель можно выносить за знак предела);

 4.3.2.9. Если последовательности ,  сходятся, то сходятся и последовательности , и

 4.3.2.10.  (предел суммы последовательностей равен сумме пределов);

  4.3.2.11.  (предел произведения последовательностей равен произведению пределов);

 4.3.2.12.  (предел частного последовательностей равен частному их пределов (при условии, что предел знаменателя отличен от 0)).

4.3.3. Число е.

 Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как .

 Утв. 1. Последовательность  возрастает с ростом n.

Док-во. По формуле бинома Ньютона

  Эта сумма содержит ровно n+1 член. Если перейти от n к n+1, то количество слагаемых увеличится на 1 и каждое слагаемое возрастётÞ an+1>an.

Математические теоремы, их виды и логическая структура.

Теоремы прямая, обратная, противоположная.

 Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р1, Р2, Р3, …}- множество точек плоскости.


Рациональные функции и их интегрирование