Выразим через функцию Лапласа Исследуем сходимость несобственного интеграла Вычислим значение интеграла Несобственные интегралы второго рода Формула интегрирования по частям Производная сложной функции

[an error occurred while processing this directive]

Рациональные функции и их интегрирование

Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .

Проверим, нет ли у него целых корней. Если есть, то этот корень должен быть одним из делителей свободного члена, то есть числа 6. Эти делители равны $ \pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$ . Подставляем эти числа в $ Q(x)$ по порядку:

 

$\displaystyle Q(1)=1-3+2+6\ne0;Q(-1)=-1-3-2+6=0.$

Натолкнулись на корень многочлена, который оказался равным $ x_1=-1$ . Значит, $ Q(x)$ делится без остатка на бином $ x-(-1)=x+1$ . Выполним это деление "столбиком":

 

\begin{displaymath}
\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrrr@{\,}r\vert l}
x^3&...
...}
&&6x&{}+6\\
&&6x&{}+6\\
\cline{3-4}
&&&0
\end{array}
\end{displaymath}

Значит,

 

$\displaystyle Q(x)=(x+1)(x^2-4x+6).$

Корни частного, то есть квадратного трёхчлена $ x^2-4x+6$ , найдём обычным способом:

 

$\displaystyle x_{2,3}=2\pm\sqrt{4-6}=2\pm i\sqrt{2}.$

Эти два корня оказались комплексными, так что искомое разложение многочлена $ Q(x)$ на вещественные линейные и квадратичные множители уже получено: это $ {Q(x)=(x+1)(x^2-4x+6)}$ . Кратности как корня $ x_1=-1$ , так и пары корней $ {x_{2,3}=2\pm i\sqrt{2}}$ , оказались равными 1.     

Итак, предположим, что нам дана правильная рациональная дробь

 

$\displaystyle R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.$

Её знаменатель $ Q(x)$ после разложения на множители может содержать множители следующих четырёх видов: $ x-x_j$ (если кратность корня $ x_j$ равна 1); $ (x-x_j)^{k_j}$ , где $ k_j\geqslant 2$ (эти множители соответствуют вещественным корням кратности больше 1); $ x^2+p_jx+q_j$ (если кратность комплексных корней $ {\alpha}_j+i{\beta}_j$ равна 1) и, наконец, $ (x^2+p_jx+q_j)^{l_j}$ (если кратность комплексных корней $ {\alpha}_j+i{\beta}_j$ больше 1).

Каждому из указанных типов множителей знаменателя соответствуют простейшие рациональные дроби, а именно:

$ \frac{\textstyle{A}}{\textstyle{x-x_j}}$  -- простейшая дробь первого типа;

$ \frac{\textstyle{A}}{\textstyle{(x-x_j)^k}}$ , где $ k>1$ , -- простейшая дробь второго типа;

$ \frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{x^2+p_jx+q_j}}$  -- простейшая дробь третьего типа;

$ \frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{(x^2+p_jx+q_j)^l}}$ , где $ l>1$ , -- простейшая дробь четвёртого типа.
Здесь $ A$ и $ B$  -- некоторые постоянные.

Любая правильная дробь $ R(x)$ раскладывается в сумму простейших дробей указанных четырёх типов.

Если в знаменателе дроби $ R(x)$ имеется множитель $ x-x_j$ , то разложение будет содержать слагаемое в виде простейшей дроби первого типа $ \frac{\textstyle{A}}{\textstyle{x-x_j}}$ , где $ A$  -- некоторое число.

Если имеется множитель $ (x-x_j)^{k_j}$ , где $ k_j\geqslant 2$ , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве $ k_j$ штук, вида $ \frac{\textstyle{A_k}}{\textstyle{(x-x_j)^k}}$ , где $ k=k_j,k_j-1,\dots,1$ , -- это простейшие дроби второго и (последняя) первого типа. (Следует заметить, однако, что непременно присутствует в разложении лишь слагаемое со старшей степенью, равной $ k_j$ ; может оказаться, что некоторые, или даже все, остальные слагаемые имеют числители $ A_k=0$ .)

Если в знаменателе имеется множитель $ {x^2+p_jx+q_j}$ , то разложение будет содержать слагаемое, равное соответствующей простейшей дроби третьего типа, $ \frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{x^2+p_jx+q_j}}$ , где $ A$ и $ B$  -- некоторые числа.

Наконец, если имеется множитель $ (x^2+p_jx+q_j)^{l_j}$ , где $ l_j\geqslant 2$ , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве $ l_j$ штук, вида $ \frac{\textstyle{A_kx+B_k}}{\textstyle{(x^2+p_jx+q_j)^l}}$ , где $ {l=l_j,l_j-1,\dots,1}$ ; -- это простейшие дроби четвёртого и (последняя) третьего типа. В разложении непременно присутствует лишь слагаемое со старшей степенью, равной $ l_j$ , а остальные слагаемые могут в некоторых случаях оказаться равными 0.

Сказанное можно выразить формулой, дающей разложение правильной дроби в сумму простейших дробей:

$\displaystyle R(x)=\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^{k_j}\frac{A_{jk}}{(x-x_j)^k}+
 \sum_{j=1}^s\sum_{l=1}^{l_j}\frac{C_{jl}x+B_{jl}}{(x^2+p_jx+q_j)^l},$(2.4)

где $ A_{jk},C_{jl},B_{jl}$  -- некоторые постоянные. Эти постоянные отыскивают методом неопределённых коэффициентов, выписав разложение (2.4) в соответствии с видом разложения на множители знаменателя $ Q(x)$ дроби $ R(x)$ .

Для отыскания неизвестных постоянных методом неопределённых коэффициентов нужно, выписав разложение $ R(x)$ в сумму простейших дробей по формуле (2.4), привести к общему знаменателю сумму, стоящую в правой части. Заметим, что этот общий знаменатель, очевидно, равен $ Q(x)$ . Получим, что в левой и правой части равенства стоят дроби с одинаковыми знаменателями; значит, и числители у них также тождественно равны. Числитель в правой части содержит неизвестные постоянные $ A_{jk},C_{jl},B_{jl}$ , а числитель левой части -- нет.

Далее можно действовать одним из двух способов: либо, воспользовавшись тем, что числители тождественно равны друг другу, подставлять в тот и в другой некоторые "удобные" значения $ x$ и получать значения постоянных или линейные уравнения, которым они удовлетворяют; либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях $ x$ в числителях левой и правой частей: эти коэффициенты также совпадают вследствие тождественности числителей. Это также будет давать линейные уравнения, которым должны удовлетворять неизвестные коэффициенты. Оба описанных способа получения соотношений между коэффициентами можно комбинировать друг с другом так, чтобы найти коэффициенты наиболее удобным способом.

Гиперболические функции непрерывны (thx в точках, в которых shx¹0), так как они определяются через непрерывную функцию ех. Обратные гиперболические функции непрерывны , так как они выражаются через непрерывную функцию ln x.

 Мы доказали непрерывность основных элементарных функций (кроме обратных тригонометрических, о которых ниже). Отсюда следует непрерывность всех элементарных функций в любой точке их областей определения, так как они определяются как функции, получающиеся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций.


Рациональные функции и их интегрирование