Выразим через функцию Лапласа Исследуем сходимость несобственного интеграла Вычислим значение интеграла Несобственные интегралы второго рода Формула интегрирования по частям Производная сложной функции

[an error occurred while processing this directive]

Частные производные

  Вычислим частные производные функции двух переменных $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$

 

по каждой из переменных $ x_1$ и $ x_2$ .

Производную по $ x_1$ найдём, считая $ x_1$ переменной, а $ x_2$ постоянной величиной:

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1;x_2)=2x_1+x_2^3+3.$

При этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных, тем, что производная от $ x_1^2$ (по $ x_1$ ) равна $ 2x_1$ , тем, что производная от $ x_1x_2^3$ (по $ x_1$ , при постоянном значении $ x_2^3$ ) равна $ x_2^3$ , тем, что производная от $ 3x_1$ (по $ x_1$ ) равна 3, и, наконец, тем, что производная постоянного слагаемого $ -2x_2$ равняется 0.

Аналогично найдём производную по переменной $ x_2$ . При этом мы считаем, что $ x_1$  -- постоянная, а меняется только $ x_2$ , по которой мы и находим производную:

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1;x_2)=3x_1x_2^2-2.$

При этом слагаемые $ x_1^2$ и $ 3x_1$ постоянны, и их производная по $ x_2$ равна 0; в слагаемом $ x_1x_2^3$ множитель $ x_1$ постоянный, и его можно вынести за знак производной, а производная от $ x_2^3$ равна $ 3x_2^2$ ; наконец, производная от $ -2x_2$ равняется $ -2$ .     

В соответствии с изученным в первом семестре смыслом производной функции одного переменного (напомним, что производная $ g'(t_0)$ функции $ g(t)$ равна скорости изменения значений функции $ g(t)$ в точке $ t_0$ ), cмысл частной производной $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$  -- это скорость изменения значений функции $ f(x)$ при равномерном движении с единичной скоростью через точку $ x^0$ по прямой $ l_i$ , параллельной оси $ Ox_i$ .

Геометрический смысл частной производной также становится ясен, если рассмотреть ограничение $ g_i(x_i)$ функции $ f(x)$ , полученное при фиксации значений всех переменных, кроме $ x_i$ . Для наглядности ограничимся случаем функции двух переменных $ x_1$ и $ x_2$ . В этом случае мы можем изобразить график функции $ y=f(x_1;x_2)$ на чертеже в виде некоторой поверхности.

Рис.7.13.



Отметим на плоскости $ x_1Ox_2$ точку $ x^0=(x_1^0;x_2^0)$ , в которой вычисляется частная производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}(x^0)$ , и рассмотрим сечение графика вертикальной плоскостью $ x_2=x_2^0$ ; она проходит на плоскости $ x_1Ox_2$ через прямую $ l_1$ , заданную тем же уравнением $ x_2=x_2^0$ . Тогда эта плоскость высекает в поверхности графика линию, служащую графиком функции $ g_1(x_1)=f\vert _{l_1}(x)$ . Функция $ g_1$  -- это функция одной переменной $ x_1$ , и её производная в точке $ x_1^0$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику в точке $ x_1^0$ . С другой стороны, $ g_1'(x_1^0)=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}(x^0)$ . Значит, частная производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}(x^0)$ имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика $ y=f(x)$ вертикальной плоскостью $ x_2=x_2^0$ .

Точно так же, частная производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}(x^0)$ имеет геометрический смысл как тангенс угла наклона касательной к сечению графика $ y=f(x)$ вертикальной плоскостью $ x_1=x_1^0$ . Заметим, что плоскости $ x_1=x_1^0$ и $ x_2=x_2^0$ взаимно перпендикулярны.

Если функция одного переменного имеет производную в некоторой точке, то эта функция обязательно непрерывна в этой точке; этот факт мы изучили в первом семестре. В случае нескольких переменных ($ n\geqslant 2$ ) дело обстоит не так. Даже наличия в некоторой точке $ x^0$ частных производных функции $ f$ по всем переменным $ x_1,\ \dots,\ x_n$ не достаточно для того, чтобы функция была непрерывной в точке $ x^0$ . Приведём пример такой функции двух переменных, что частные производные её сушествуют, а функция, тем не менее, разрывна.

Гиперболические функции непрерывны (thx в точках, в которых shx¹0), так как они определяются через непрерывную функцию ех. Обратные гиперболические функции непрерывны , так как они выражаются через непрерывную функцию ln x.

 Мы доказали непрерывность основных элементарных функций (кроме обратных тригонометрических, о которых ниже). Отсюда следует непрерывность всех элементарных функций в любой точке их областей определения, так как они определяются как функции, получающиеся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций.


Рациональные функции и их интегрирование