Выразим через функцию Лапласа Исследуем сходимость несобственного интеграла Вычислим значение интеграла Несобственные интегралы второго рода Формула интегрирования по частям Производная сложной функции

[an error occurred while processing this directive]

Рациональные функции и их интегрирование

Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

 

\begin{displaymath} \arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrrr@{\,}r\vert l} x^3&... ...antom{2}1\\ &&12x&{}-24\\ \cline{3-4} &&&25 \end{array} \end{displaymath}

Таким образом, мы представили неправильную рациональную дробь $ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ в виде

 

$\displaystyle R(x)=\frac{x^3+5x^2-2x+1}{x-2}=x^2+7x+12+\frac{25}{x-2};$

здесь мы получили частное $ S(x)=x^2+7x+12$ и остаток $ T(x)=25$  -- многочлен нулевой степени, то есть постоянную.     

Знаменатель $ Q(x)=x^n+b_1x^{n-1}+\ldots+b_{n-1}x+b_n$ раскладывается в произведение вещественных линейных и квадратичных множителей, то есть имеет вид

$\displaystyle Q(x)=(x-x_1)^{k_1}\ldots(x-x_s)^{k_s}\cdot (x^2+p_1x+q_1)^{l_1}\ldots(x^2+p_tx+q_t)^{l_t}=$   
$\displaystyle =\prod_{j=1}^s(x-x_j)^{k_j}\prod_{j=1}^t(x^2+p_jx+q_j)^{l_j}.$   

Линейный множитель $ x-x_j$ повторяется в разложении $ k_j$ раз, это означает, что вещественное число $ x_j$  -- корень многочлена $ Q(x)$ кратности $ k_j$ . Относительно квадратичных множителей $ x^2+p_jx+q_j$ мы будем предполагать, что они не имеют вещественных корней, то есть что их дискриминанты отрицательны:

 

$\displaystyle D_j=p_j^2-4q_j<0,$

и корни составляют пару комплексно сопряжённых чисел:

 

$\displaystyle {\alpha}_j\pm i{\beta}_j=-\frac{p_j}{2}\pm i\frac{\sqrt{-D_j}}{2}.$

(Здесь и далее $ i$  -- мнимая единица, так что $ i^2=-1$ .) Квадратичный множитель $ x^2+p_jx+q_j$ повторяется в разложении $ l_j$ раз; это соответствует тому, что каждое из комплексно сопряжённых чисел $ {\alpha}_j+i{\beta}_j$ и $ {\alpha}_j-i{\beta}_j$ служит $ l_j$ -кратным корнем многочлена $ Q(x)$ .

Указанное разложение многочлена $ Q(x)$ можно выписать, если каким-либо способом отыскать все его корни, как вещественные, так и комплексные, и найти их кратности. Заметим также, что сумма кратностей всех корней равна степени многочлена:

 

$\displaystyle k_1+\ldots+k_s+2(l_1+\ldots+l_t)=n.$

Если найден какой-либо корень $ x_j$ , то это означает, что $ Q(x)$ делится на бином $ x-x_j$ без остатка:

 

$\displaystyle Q(x)=(x-x_j)Q'(x),$

где степень частного $ Q'(x)$ равна $ n-1$ . Точно так же, если найден какой-либо комплексный корень $ {\alpha}_j+i{\beta}_j$ (тогда и сопряжённое число $ {\alpha}_j-i{\beta}_j$ тоже является корнем $ Q(x)$ ), то $ Q(x)$ делится без остатка на произведение $ (x-{\alpha}_j-i{\beta}_j)(x-{\alpha}_j+i{\beta}_j)=x^2+p_jx+q_j$ , то есть

 

$\displaystyle Q(x)=(x^2+p_jx+q_j)Q''(x),$

где степень частного $ Q''(x)$ равна $ n-2$

Гиперболические функции непрерывны (thx в точках, в которых shx¹0), так как они определяются через непрерывную функцию ех. Обратные гиперболические функции непрерывны , так как они выражаются через непрерывную функцию ln x.

 Мы доказали непрерывность основных элементарных функций (кроме обратных тригонометрических, о которых ниже). Отсюда следует непрерывность всех элементарных функций в любой точке их областей определения, так как они определяются как функции, получающиеся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций.


Рациональные функции и их интегрирование