Выразим через функцию Лапласа Исследуем сходимость несобственного интеграла Вычислим значение интеграла Несобственные интегралы второго рода Формула интегрирования по частям Производная сложной функции

[an error occurred while processing this directive]

Вычисление длины плоской линии

 

       Найдём длину $ l$ отрезка параболы $ y=\frac{x^2}{2}$ , лежащего между точками $ O(0;0)$ и $ A(1;\frac{1}{2})$ .

Рис.6.16.



Пусть $ f(x)=\frac{x^2}{2}$ ; тогда $ f'(x)=x$ и

 

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx.$

Для вычисления значения интеграла $ l$ проинтегрируем по частям и преобразуем интеграл в правой части так, что получится уравнение относительно $ l$ :

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=\left\vert\begin{array}{l}
 u=\sqrt{1+...
...t\vert=
 x\sqrt{1+x^2}\Bigl\vert _0^1-\int_0^1x\cdot\frac{x\;dx}{\sqrt{1+x^2}}=$(6.7*)
$\displaystyle =\sqrt{2}-\int_0^1\frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
 \sqrt{2}-l+\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx,$(6.8)

Здесь мы учли при перобразовании, что

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=l.$

Последний интеграл в правой части (6.7*) -- табличный:

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
\ln\vert x+\sqrt{1+x^2}\vert\Bigl\vert _0^1=\ln(1+\sqrt{2}).$

Получаем в итоге уравнение для искомой величины $ l$ :

 

$\displaystyle l=\sqrt{2}-l+\ln(1+\sqrt{2}),$

откуда находим

 

$\displaystyle l=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})).$

    

Аналогично построению, проведённому выше, можно выполнить построение вписанной ломаной для линии $ L$ , заданной параметрическими уравнениями в $ m$ -мерном пространстве с координатами $ (x_1;\dots;x_m)$ :

 

$\displaystyle x_j=f_j(t),\ j=1,\dots,m$

($ m=2$ для плоскости, $ m=3$ для трёхмерного пространства). Снова считая длину линии по определению равной пределу длин вписанных ломаных при измельчении разбиения, получаем формулу для длины $ l$ дуги линии $ L$ , лежащей между точками $ M_0(f_1({\alpha}),\dots,f_m({\alpha}))$ и $ N(f_1({\beta}),\dots,f_m({\beta}))$ :

$\displaystyle l=\int_{{\alpha}}^{{\beta}}\sqrt{\sum_{j=1}^m(f_j'(t))^2}\;dt.$(6.9)

Если на плоскости (то есть при $ m=2$ ) в качестве параметра $ t={\varphi}$ линии, заданной уравнением в полярных координатах $ r=f({\varphi})$ , взять полярный угол $ {\varphi}$ , то формула длины линии принимает вид

 

$\displaystyle l=\int_{{\alpha}}^{{\beta}}\sqrt{(f({\varphi}))^2+(f'({\varphi}))^2}\;d{\varphi}.$

При выводе этой формулы нужно учесть связь между декартовыми координатами $ (x_1;x_2)$ и полярными координатами $ (r;{\varphi})$ :

 

$\displaystyle x_1=r\cos{\varphi};\ x_2=r\sin{\varphi}.$

Выведите эту формулу длины из формулы (6.9) в качестве упражнения.

Гиперболические функции непрерывны (thx в точках, в которых shx¹0), так как они определяются через непрерывную функцию ех. Обратные гиперболические функции непрерывны , так как они выражаются через непрерывную функцию ln x.

 Мы доказали непрерывность основных элементарных функций (кроме обратных тригонометрических, о которых ниже). Отсюда следует непрерывность всех элементарных функций в любой точке их областей определения, так как они определяются как функции, получающиеся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций.


Рациональные функции и их интегрирование